Question

（2005•南通）在平面直角坐标系中，直线y=kx+m（-≤k≤）经过点A（，4），且与y轴相交于点C．点B在y轴上，O为坐标原点，且OB=OA+7-2．记△ABC的面积为S．
（1）求m的取值范围；
（2）求S关于m的函数关系式；
（3）设点B在y轴的正半轴上，当S取得最大值时，将△ABC沿AC折叠得到△AB′C，求点B′的坐标．

Answer

（1）根据点在直线上的意义可知k+m=4，k=1-m．因为，即．解得2≤m≤6．
（2）根据题意易得：OA=，OB=7．所以B点的坐标为（0，7）或（0，-7）．
直线y=kx+m与y轴的交点为C（0，m）．
当点B的坐标是（0，7）时，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7-m．所以S=•2•BC=（7-m）；
当点B的坐标是（0，-7）时，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7+m．所以S=•2•BC=（7+m）．
（3）分别过点A、B′作y轴的垂线AD、B′E，垂足为D、E．
利用Rt△ACD中的关系：tan∠ACD=，得∠ACD=60°，∠ACB′=∠ACD=60°，CB′=BC=7-2=5，所以∠B′CE=180°-∠B′CB=60°．
再利用Rt△B'CE中的线段之间的关系可求得，CE=，B′E=．故OE=CE-OC=．所以点B′的坐标为（）．
【解析】
（1）∵直线y=kx+m（-≤k≤）经过点A（，4），
∴k+m=4，
∴k=1-m．
∵，∴．
解得2≤m≤6．

（2）∵A的坐标是（，4），∴OA=．
又∵OB=OA+7-2，∴OB=7．∴B点的坐标为（0，7）或（0，-7）．
直线y=kx+m与y轴的交点为C（0，m）．
①当点B的坐标是（0，7）时，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7-m．
∴S=•2•BC=（7-m）．
②当点B的坐标是（0，-7）时，由于C（0，m），2≤m≤6，故BC=7+m．
∴S=•2•BC=（7+m）．

（3）当m=2时，一次函数S=-+7取得最大值，这时C（0，2）．
如图，分别过点A、B′作y轴的垂线AD、B′E，垂足为D、E．
则AD=，CD=4-2=2．
在Rt△ACD中，tan∠ACD=，
∴∠ACD=60°．
由题意，得∠ACB′=∠ACD=60°，CB′=BC=7-2=5，
∴∠B′CE=180°-∠B′CB=60°．
在Rt△B′CE中，∠B′CE=60°，CB′=5，
∴CE=，B′E=．
故OE=CE-OC=．
∴点B′的坐标为（）．