Question

（2005•南通）如图，在平面直角坐标系中，已知A（-10，0），B（-8，6），O为坐标原点，△OAB沿AB翻折得到△PAB．将四边形OAPB先向下平移3个单位长度，再向右平移m（m＞0）个单位长度，得到四边形O₁A₁P₁B₁．设四边形O₁A₁P₁B₁与四边形OAPB重叠部分图形的周长为l．
（1）求A₁、P₁两点的坐标（用含m的式子表示）；
（2）求周长L与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．

Answer

（1）首先应求得点P的坐标．根据点B的坐标，运用勾股定理求得OB的长，发现OB=OA，再结合折叠，即四条边都相等的四边形是菱形，根据菱形的性质求得点P的坐标．再根据平移和点的坐标之间的联系：左减右加，由点A，P的坐标求得点A1、P1两点的坐标；
（2）由于向右移的单位长度不确定，所以此题应分情况考虑．根据勾股定理可以求得当向下平移3个单位长度时，P1到AP的距离是4，P1到y轴的距离是14，所以分为当0＜m≤4时和当4＜m＜14时两种情况，结合平行线分线段成比例定理和平移的性质进行计算．
【解析】
（1）过点B作BQ⊥OA于点Q，（如图1）
∵点A坐标是（-10，0）
∴点A1坐标为（-10+m，-3），OA=10
又∵点B坐标是（-8，6）
∴BQ=6，OQ=8
在Rt△OQB中，OB=
∴OA=OB=10，tanα=
由翻折的性质可知，PA=OA=10，PB=OB=10
∴四边形OAPB是菱形
∴PB∥AO
∴P点坐标为（-18，6）
∴P1点坐标为（-18+m，3）；

（2）①当0＜m≤4时，（如图2），过点B1作B1Q1⊥x轴于点Q1，则B1Q1=6-3=3
设O1B1交x轴于点F
∵O1B1∥BO
∴∠α=∠β
在Rt△FQ1B1中，tanβ=
∴
∴Q1F=4
∴B1F==5
∵AQ=OA-OQ=10-8=2
∴AF=AQ+QQ1+Q1F=2+m+4=6+m
∴周长l=2（B1F+AF）
=2（5+6+m）
=2m+22；
②当4＜m＜14时，（如图3）
设P1A1交x轴于点S，P1B1交OB于点H
由平移性质，得OH=B1F=5
此时AS=m-4
∴OS=OA-AS
=10-（m-4）=14-m
∴周长L=2（OH+OS）
=2（5+14-m）
=-2m+38．
（说明：其他解法可参照给分）