Question

（2005•镇江）已知：如图，四边形ABCD中，∠C=90°，∠ABD=∠CBD，AB=CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）求证：PA=EF；
（2）若BD=10，P是BD的中点，sin∠BAP=，求四边形PECF的面积．

Answer

（1）连接PC、EF，根据条件AB=CB，∠ABD=∠CBD，BD=BD，判定△ABD≌△CBD得到AD=CD，∠ADB=∠CDB，从而判定△ADP≌△CDP所以AP=PC=EF；
（2）利用sin∠BAP=，求出EP•FP=3×4=12，即四边形PECF的面积为12．
【解析】
（1）连接PC、EF．
∵AB=CB，∠ABD=∠CBD，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∴AD=CD，∠ADB=∠CDB．
又∵DP=DP，
∴△ADP≌△CDP．
∴AP=PC，AP=EF．

（2）∵AP=PC，AP=EF，∠C=90°，
∴四边形PECF是矩形，
若BD=10，在Rt△BAD中，
∵P为BD中点，
∴AP=BD=5，
∴PC=EF=5．
∵sin∠BAP=，
∴sin∠PCE=，
∴EP=3，FP=4，
∴EP•FP=3×4=12．
即四边形PECF的面积为12．