Question

（2005•江西）已知抛物线y=-（x-m）²+1与x轴的交点为A、B（B在A的右边），与y轴的交点为C．
（1）写出m=1时与抛物线有关的三个正确结论；
（2）当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
（3）请你提出一个对任意的m值都能成立的正确命题（说明：根据提出问题的水平层次，得分略有差异）．

Answer

（1）将m=1代入y=-（x-m）2+1化简可得抛物线的解析式为y=-x2+2x；
（2）存在．令y=0时得出（x-m）2=1得出A，B的坐标．令x=0时得出点C在原点下方得出OC=m2-1，求出m的实际值；
（3）已知抛物线y=-（x-m）2+1，根据m值的不同分情况解答．
【解析】
（1）当m=1时，抛物线的解析式为y=-x2+2x．
正确的结论有：
①抛物线的解析式为y=-x2+2x；
②开口向下；
③顶点为（1，1）；④抛物线经过原点；
⑤与x轴另一个交点是（2，0）；
⑥对称轴为x=1；等（3分）
说明：每正确写出一个得一分，最多不超过（3分）．

（2）存在．
当y=0时，-（x-m）2+1=0，即有（x-m）2=1．
∴x1=m-1，x2=m+1．
∵点B在点A的右边，
∴A（m-1，0），B（m+1，0）（4分）
∵点B在原点右边
∴OB=m+1
∵当x=0时，y=1-m2，点C在原点下方
∴OC=m2-1．（5分）
当m2-1=m+1时，m2-m-2=0
∴m=2或m=-1（因为对称轴在y轴的右侧，m＞0，所以不合要求，舍去），
∴存在△BOC为等腰三角形的情形，此时m=2．（7分）

（3）如①对任意的m，抛物线y=-（x-m）2+1的顶点都在直线y=1上；
②对任意的m，抛物线y=-（x-m）2+1与x轴的两个交点间的距离是一个定值；
③对任意的m，抛物线y=-（x-m）2+1与x轴两个交点的横坐标之差的绝对值为2．