Question

（2005•大连）已知A₁、A₂、A₃是抛物线y=x²上的三点，A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃分别垂直于x轴，垂足为B₁、B₂、B₃，直线A₂B₂交线段A₁A₃于点C．
（1）如图，若A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为1，2，3，求线段CA₂的长；
（2）如图，若将抛物线y=x²改为抛物线y=x²-x+1，A₁、A₂、A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA₂的长；
（3）若将抛物线y=x²改为抛物线y=ax²+bx+c，A₁、A₂、A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA₂的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）．

Answer

（1）A1、A2、A3是抛物线y=x2上的三点，A1、A2、A3三点的横坐标依次为1，2，3，代入函数解析式就可以求出三个点的坐标，再根据待定系数法就可以求出直线A1A3的解析式．求出直线B2A2与A1A3的交点坐标，进而求出A2C的长．
（2）设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n-1、n、n+1，可以采用与第一问相同的方法解决．
【解析】
（1）方法一：∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，
∴A1B1=×12=，A2B2=×22=2，A3B3=×32=（1分）
设直线A1A3的解析式为y=kx+b．
∴
解得
∴直线A1A3的解析式为y=2x-，
∴CB2=2×2-=（2分）
∴CA2=CB2-A2B2=-2=．（3分）
方法二：∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，
∴A1B1=×12=，A2B2=×22=2，A3B3=×32=（1分）
由已知可得A1B1∥A3B3，
∴CB2=（A1B1+A3B3）=（+）=（2分）
∴CA2=CB2-A2B2=-2=．（3分）

（2）方法一：设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n-1、n、n+1，
则A1B1=（n-1）2-（n-1）+1，
A2B2=n2-n+1，
A3B3=（n+1）2-（n+1）+1（4分）
设直线A1A3的解析式为y=kx+b．
∴（5分）
解得，（6分）
∴直线A1A3的解析式为y=（n-1）x-n2+．（7分）
∴CB2=n（n-1）-n2+=n2-n+（8分）
∴CA2=CB2-A2B2=n2-n+-n2+n-1=（9分）
方法二：设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n-1、n、n+1．
则A1B1=（n-1）2-（n-1）+1，
A2B2=n2-n+1，
A3B3=（n+1）2-（n+1）+1（4分）
由已知可得A1B1∥A3B3，
∴CB2=（A1B1+A3B3）（6分）
=[（n-1）2-（n-1）+1+（n+1）2-（n+1）+1]（7分）
=n2-n+（8分）
∴CA2=CB2-A2B2=n2-n+-（n2-n+1）=．（9分）

（3）当a＞0时，CA2=a；
当a＜0时，CA2=-a．（12分）