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(2005•大连)如图,操作:把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC),取线段AE的中点M.
探究:线段MD、MF的关系,并加以证明.
说明:(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);
(2)在你经历说明(1)的过程后,可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明.
注意:选取①完成证明得10分;选取②完成证明得7分;选取③完成证明得5分.
①DM的延长线交CE于点N,且AD=NE;②将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45°(如图),其他条件不变;③在②的条件下,且CF=2AD.
附加题:将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后(如图),其他条件不变.探究:线段MD、MF的关系,并加以证明.
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根据观察它们的关系可能是MD=MF,MD⊥MF.证明思路:可以通过构建三角形来证明.延长DM交CE于点N,连接FD、FN.根据等腰直角三角形的性质,我们可以通过证明三角形DFN为等腰直角三角形,M为其斜边的中点来实现.那么我们要证明三角形DFN是个等腰直角三角形,且DM=MN.即要证明DF=FN,DM=MN,∠DFN=90度.如果要证明DM=MN,那么可通过证明三角形ADM和MNE全等来实现.由于AD∥BE,那么∠1=∠2,M为AE中点,AM=ME,对顶角∠3=∠4,根据ASA可得出△ADM≌△ENM,那么可得出MN=DM,AD=NE.下一步证明△DCF和△FNE全等即可.现在可得出的两个三角形中相等的条件是:AD=DC=NE,CF=EF(同为正方形CGEF的边),只要证明出∠DCF=∠FEN即可.我们发现CE时正方形CGEF的对角线,那么∠FCE=∠FEC=45°,DC⊥CE,那么∠DCF=90°-∠FCE=45°=∠FEC,这样根据CD=NE,CF=EF,∠DCF=∠FEN可根据SAS得出△DCF和△FNE全等那么DF=FN,∠5=∠6,∠6+∠CFN=∠CFE=90°,那么∠5+∠CFN也应该是90°,又由上面证得的DM=MN,那么我们可得出DFN是个等腰直角三角形,且M是斜边DN的中点,因此可得出MD=MF,MD⊥MF. 附加题:证明思路同上,只不过辅助线的作法略有不同,本题过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H,连接DF、FN.还是通过证明DFN是个等腰直角三角形且M是DN的中点来实现. 证明:关系是:MD=MF,MD⊥MF 如图,延长DM交CE于点N,连接FD、FN ∵正方形ABCD, ∴AD∥BE,AD=DC, ∴∠1=∠2 又∵AM=EM,∠3=∠4 ∴△ADM≌△ENM ∴AD=EN,MD=MN ∵AD=DC,∴DC=NE 又∵正方形CGEF,∴∠FCE=∠NEF=45°,FC=FE,∠CFE=90° 又∵正方形ABCD,∴∠BCD=90°.∴∠DCF=∠NEF=45° ∴△FDC≌△FNE ∴FD=FN,∠5=∠6 ∵∠CFE=90°,∴∠DFN=90° 又∵DM=MN=DN, ∴M为DN的中点, ∴FM=DN, ∴MD=MF,DM⊥MF 思路一:∵四边形ABCD、CGEF是正方形, ∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90° CF=EF=EG=CG,∠G=∠GEF=∠EFC=∠FCG=90°,∠FCE=∠FEC=45° ∴∠DCF=∠FEC 思路二: 延长DM交CE于N,∵四边形ABCD、CGEF是正方形 ∴AD∥CE,∴∠DAM=∠NEM 又∵∠DMA=∠NME,AM=EM,∴△ADM≌△ENM 思路三:∵正方形CGEF, ∴∠FCE=∠FEC=45° 又∵正方形ABCD, ∴∠DCB=90°. ∴∠DCF=180°-∠DCB-∠FCE=45°,∠DCF=∠FEC=45° 选取条件① 证明:如图 ∵正方形ABCD, ∴AD∥BE,AD=DC,∴∠1=∠2 ∵AD=NE,∠3=∠4,∴△ADM≌△ENM ∴MD=MN 又∵AD=DC, ∴DC=NE 又∵正方形CGEF, ∴FC=FE,∠FCE=∠FEN=45°. ∴∠FCD=∠FEN=45° ∴△FDC≌△FNE ∴FD=FN,∠5=∠6, ∴∠DFN=∠CFE=90° ∴MD=MF,MD⊥MF 选取条件② 证明:如图, 延长DM交FE于N ∵正方形ABCD、CGEF ∴CF=EF,AD=DC,∠CFE=90°,AD∥FE. ∴∠1=∠2 又∵MA=ME,∠3=∠4, ∴△AMD≌△EMN ∴MD=MN,AD=EN. ∵AD=DC, ∴DC=NE 又∵FC=FE, ∴FD=FN 又∵∠DFN=90°, ∴FM⊥MD,MF=MD. 选取条件③ 证明:如图, 延长DM交FE于N. ∵正方形ABCD、CGEF ∴CF=EF,AD=DC,∠CFE=90°,AD∥FE ∴∠1=∠2 又∵MA=ME,∠3=∠4, ∴△AMD≌△EMN ∴AD=EN,MD=MN. ∵CF=2AD,EF=2EN ∴FD=FN.又∵∠DFN=90°, ∴MD=MF,MD⊥MF 附加题: 证明:如图 过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H,连接DF、FN 则∠ADC=∠H,∠3=∠4. ∵AM=ME,∠1=∠2, ∴△ADM≌△ENM ∴DM=NM,AD=EN. ∵正方形ABCD、CGEF ∴AD=DC,FC=FE,∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°,CG∥FE ∴∠H=90°,∠5=∠NEF,DC=NE ∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90° ∴∠DCF=∠5=∠NEF ∵FC=FE,∴△DCF≌△NEF ∴FD=FN,∠DFC=∠NFE. ∵∠CFE=90° ∴∠DFN=90°. ∴DM=FM,DM⊥FM.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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