Question

（2005•沈阳）如图所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直．现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：
方案一：E⇒D⇒A⇒B；
方案二：E⇒C⇒B⇒A．
经测量得AB=4千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15度．已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米．
（1）求出河宽AD（结果保留根号）；
（2）求出公路CD的长；
（3）哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由．

Answer

（1）如图所示，过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F．由于∠BDC=45°，∠ABD=15°，故利用三角形外角等于不相邻两个内角和知∠BAF=60°，即在直角三角形中，知道斜边求邻边用余弦得AF=ABcos60°=4×=2（千米），又BF=ABsin60°=4×=6（千米）=DF所以可求出AD的值；
（2）过点B作BG⊥CD于G后，由矩形知BG=DF=6，由勾股定理知CG=8千米，有CD=CG+GD=14千米；
（3）由（2）得DE=CD-CE=8．方案一的铺设费用为：2（DE+AB）+4AD=40万元，方案二的铺设费用为：2（CE+BC+AB）=（32+8）万元．故方案一的铺设电缆费用低．
【解析】
（1）过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F．
由题意得：∠BAF=∠ABD+∠ADB=15°+45°=60°，
在Rt△BFA中，BF=ABsin60°=4×=6（千米），
AF=ABcos60°=4×=2（千米）．
∵CD⊥AD，∠BDC=45°，
∴∠BDF=45°，
在Rt△BFD中，∵∠BDF=45°，
∴DF=BF=6千米．
∴AD=DF-AF=6-2（千米）．
即河宽AD为（6-2）千米；

（2）过点B作BG⊥CD于G，易证四边形BFDG是正方形，
∴BG=BF=6千米．
在Rt△BGC中，=8（千米），
∴CD=CG+GD=14千米．
即公路CD的长为14千米；

（3）方案一的铺设电缆费用低．
由（2）得DE=CD-CE=8千米．
∴方案一的铺设费用为：2（DE+AB）+4AD=40万元，
方案二的铺设费用为：2（CE+BC+AB）=（32+8）万元．
∵40＜32+8，
∴方案一的铺设电缆费用低．