Question

（2005•沈阳）如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC=，∠CAO=30度．将Rt△OAC折叠，使OC边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．
（1）求折痕CE所在直线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）因为∠CAO=30°，由折叠可知∠OCE=∠ECD=∠OCA=30°，
在Rt△COE中，利用三角函数可求OE=OC•tan∠OCE=×=1，从而可求点E的坐标是（1，0）．
因为OC=，所以C（0，）．
可设直线CE的解析式为y=kx+b，将C、E的坐标代入，可得到关于k、b的方程组，解之即可；
（2）在Rt△AOC中，利用三角函数可求出AC、AO的值，因为CD=OC=，可求出AD=AC-CD=2-=．
要求D的坐标，需过点D作DF⊥OA于点F．
在Rt△AFD中，利用三角函数可求DF=AD•sin∠CAO=，AF=AD•cos∠CAO=，所以OF=AO-AF=，从而点D的坐标是（，）；
（3）需分情况讨论：
第一种情况：若此点在第四象限内，可设其为M1，延长DF交直线CE于M1，连接M1O，则有DM1∥y轴．
因为OF=，所以可设点M1的坐标为（，y1），利用点M1在直线CE上，可得y1的值，即可求出点M1的坐标是（，-），所以有DM1=DF+FM1=+=，OC=，所以DM1=OC．
利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知四边形CDM1O为平行四边形．而点O在y轴上，所以点M1是符合条件的点．
第二种情况：此点在第二象限内，设为M2．可过点D作DN∥CE交y轴于N，过N点作NM2∥CD交直线CE于点M2，则四边形M2NDC为平行四边形．
利用平行四边形的对边分别相等，可知M2N=CD=，
又因M2N∥CD，DN∥CE，所以∠NM2C=∠ACE，∠OCE=∠M2CN，CN=M2N．
又因M2N=CD=，所以CN=．
接着可作M2H⊥y轴于点H，利用两直线平行，内错角相等可得∠M2NC=∠NCD，∴∠M2NH=∠OCA=60°．
在Rt△M2NH中，利用三角函数可求出M2H，NH的值，利用HO=HN+CN+OC=可得M2（-，）．
【解析】
（1）由题意知∠CAO=30°，
∴∠OCE=∠ECD=∠OCA=30°，
∴在Rt△COE中，OE=OC•tan∠OCE=×=1，
∴点E的坐标是（1，0），
设直线CE的解析式为y=kx+b．
把点C（0，），E（1，0）代入得，
∴，
∴直线CE的解析式为y=-x+．

（2）在Rt△AOC中，AC==2，
AO==3，
∵CD=OC=，
∴AD=AC-CD=2-=，
过点D作DF⊥OA于点F，
在Rt△AFD中，DF=AD•sin∠CAO=，
AF=AD•cos∠CAO=，
∴OF=AO-AF=．
∴点D的坐标是（，）．

（3）存在两个符合条件的M点，
第一种情况：此点在第四象限内，设为M1，延长DF交直线CE于M1，
连接M1O，M1O∥AC，
则有DM1∥y轴，
∵OF=，
∴设点M1的坐标为（，y1），
又∵点M1在直线CE上，
∴将点M1的坐标代入y=-x+中，
得y1=-×+=-，即FM1=．
∴点M1的坐标是（，-），
又∵DM1=DF+FM1=+=，OC=，
∴DM1=OC，
又∵DM1∥OC，
∴四边形CDM1O为平行四边形，
又∵点O在y轴上，
∴点M1是符合条件的点．
第二种情况：此点在第二象限内，设为M2，
过点D作DN∥CE交y轴于N，过N点作NM2∥CD交直线CE于点M2，
则四边形M2NDC为平行四边形，
∴M2N=CD=，
∵M2N∥CD，DN∥CE，
∴∠NM2C=∠ACE，∠OCE=∠M2CN，
∴CN=M2N，
∵M2N=CD=，
∴CN=，
作M2H⊥y轴于点H，
∵M2N∥CD，
∴∠M2NC=∠NCD，
∴∠M2NH=∠OCA=60°，
在Rt△M2NH中，
M2H=M2N•sin60°=×=，
NH=M2N•cos60°=×=，
∴HO=HN+CN+OC=，
∴M2（-，），
∴点M2是符合条件的点，
综上所述，符合条件的两个点的坐标分别为M1（，-），M2（-，）．