Question

（2005•威海）如图，AF⊥CE，垂足为点O，AO=CO=2，EO=FO=1．
（1）求证：点F为BC的中点；
（2）求四边形BEOF的面积．

Answer

（1）解题思路：连接EF、AC，可通过证明EF是三角形ABC的中位线来求得；
（2）连接OB后我们发现，S△OFC=S△FOB，S△OEB=S△OEA，那么S四边形BEOF=S△OEA+S△OFC．
（1）证明：连接EF、AC，
∵AO=CO=2，EO=FO=1，
∴EO：OC=FO：OA=1：2，
又∵∠EOF=∠AOC，
∴△AOC∽△FOE，
∴EF：AC=1：2，∠OEF=∠OCA，
∴EF∥AC，
∴EF是三角形ABC的中位线，
∴点F为BC的中点；

（2）【解析】
连接OB，
由（1）知：BF=CF，
又因为△OFC和△BFO中CF和BF边上的高相等，那么
S△OFC=S△BFO，
同理：S△BOE=S△AOE，
直角三角形AOE中，S△AOE=1×2÷2=1，
同理S△OFC=1，
因此S四边形BEOF=S△BFO+S△BOE=S△OFC+S△AOE=2．