Question

（2005•威海）已知抛物线y=（k-1）x²+（2+4k）x+1-4k过点A（4，0）．
（1）试确定抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）在y轴上确定一点P，使线段AP+BP最短，求出P点的坐标；
（3）设M为线段AP的中点，试判断点B与以AP为直径的⊙M的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）把A点坐标代入抛物线可得出k值以及点B坐标．
（2）由题意可得点A关于y轴对称的坐标A′，易求解析式．
（3）本题要靠辅助线的帮助．过点B作BE⊥OA于E，得出E为OA的中点，求出AP的长度，则可判断．
【解析】
（1）所求抛物线的解析式为：y=-x2+3x=-（x-2）2+3．
顶点B的坐标为（2，3）．

（2）∵y=-x2+3x，
∴y=0时，解得x=4或0，
∴点A的坐标是（4，0），
∴关于y轴的对称点A′的坐标为（-4，0）．
则直线A'B与y轴的交点就是P点．
设直线A'B的解析式为y=x+2．
∴P的坐标为（0，2）．

（3）过点B作BE⊥OA于E，则BE∥OP．
由抛物线的对称性可知，点E为OA的中点．
直线BE与AP的交点就是AP的中点M．
AP=2，⊙M的半径R=
BM=3-1=2＜，
∴点B在⊙M的内部．