Question

（2005•威海）已知：如图1，在⊙O中，弦AB=2，CD=1，AD⊥BD．直线AD，BC相交于点E．
（1）求∠E的度数；
（2）如果点C，D在⊙O上运动，且保持弦CD的长度不变，那么，直线AD，BC相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）．
①如图2，弦AB与弦CD交于点F；
②如图3，弦AB与弦CD不相交；
③如图4，点B与点C重合．

Answer

（1）根据AD⊥BD得到AB是直径，连接OC、OD，发现等边三角形，再根据圆周角定理求得
∠EBD=30°，再进一步求得∠E的度数；
（2）分别画出三种图形，图2中，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质可以求得；图3中，根据三角形的外角的性质和圆周角定理可以求得；图4中，根据切线的性质发现直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余求得．
【解析】
（1）如图1，连接OC、OD．
∵AD⊥BD，
∴AB是直径．
∴OC=OD=CD=1．
∴∠COD=60°，
∴∠DBE=30°，
∴∠E=60°．

（2）①如图2，连接OD、OC，AC．
∵DO=CO=CD=1，
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC=60°，
∴∠DAC=30°，
∴∠EBD=30°，
∵∠ADB=90°，
∴∠E=90°-30°=60°，
②如图3，连接OD、OC．同理可得出∠CBD=30°，∠BED=90°-30°=60°．
③如图4，当点B与点C重合时，则直线BE与⊙0只有一个公共点．
∴EB恰为⊙O的切线．∠E=60°．