Question

（2005•绵阳）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD=∠C，AB=2，AD=1.6，CD=3．
（1）求BD，BC的长；
（2）画出△BCD的外接圆（不写画法，保留作图痕迹），并指出AD是否为该圆的切线；
（3）计算tanC的值．

Answer

（1）因为AD∥BC可知∠ADB=∠DBC又∠ABD=∠C，易证△ABD∽△DCB，继而求出BD，BC的长
（2）要求tanC的值，须作直角三角形，因此过D作DE⊥BC于E，求出DE、CE长即可
【解析】
（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
而∠ABD=∠C，
∴△ABD∽△DCB，
∴，
∴，
∴BD=2.4，BC=3.6．

（2）△BCD的外接圆如右图所示，AD不是其外接圆的切线．

（3）方法一：
过D作DE⊥BC于E．
设CE=x，则BE=3.6-x．
根据勾股定理，得BD2-BE2=DE2=CD2-CE2，
即2.42-（3.6-x）2=DE2=32-x2，
解得x=，DE=．
∴在Rt△CDE中，有tanC=．

方法二：
过D作DF∥AB交BC于F，则ABFD是平行四边形，
所以DF=2，CF=BC-BF=3.6-1.6=2，
∴△CDF是等腰三角形．
过F作FG⊥CD于G，则FG2=CF2-（CD）2=，FG=，
∴在Rt△CFG中，有tanC=．