Question

（2005•四川）已知：如图，以Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙O，D是⊙O上的点，且有AC=CD．过点C作⊙O的切线，与BD的延长线交于点E，连接CD．
（1）试判断BE与CE是否互相垂直，请说明理由；
（2）若CD=2，tan∠DCE=，求⊙O的半径长．

Answer

（1）由题意易得∠ACB=90°，通过求∠BEC=∠ACB=90°来证明BE⊥CE．
（2）根据∠DCE=∠DBC=∠ABC，tan∠DCE=可先求得AC=CD=2，BC=4，再根据勾股定理可求得AB的值，就可求出⊙O的半径长．
【解析】
（1）∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∵AC=CD，
∴∠ABC=∠CBE，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠BCE=∠A，
∴∠BEC=∠ACB=90°
∴BE⊥CE．

（2）∵CE是切线，AC=CD，
∴∠DCE=∠DBC=∠ABC，tan∠DCE=
∴tan∠ABC=
∵AC=CD=2
∴BC=4
∴AB=10
∴⊙O的半径等于5．