Question

（2005•天津）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示．
（1）如图，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60度．求证：a²=b（b+c）．

（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角三角形ABC，其中∠A=2∠B，关系式a²=b（b+c）是否仍然成立？并证明你的结论．

（3）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数．

Answer

（1）根据已知可求得各角的度数，再根据三角函数求得各边的关系，从而不难得到结论．
（2）根据已知表示各角的度数，再根据正弦定理对式子进行整理，从而得到结论；
（3）注意分三种情况进行分析．
（1）证明：∵∠A=2∠B，∠A=60°
∴∠B=30°，∠C=90°
∴c=2b，a=b
∴a2=3b2=b（b+c）

（2）【解析】
关系式a2=b（b+c）仍然成立．
法一：证明：∵∠A=2∠B
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-3∠B
由正弦定理得
即a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∴b（b+c）=2RsinB（2RsinB+2RsinC）
=4R2sinB[sinB+sin（180°-3∠B）]
=4R2sinB（sinB+sin3∠B）
=4R2sinB（2sin2BcosB）
=4R2sin2B×sin2B
=4R2sin22B
又∵a2=4R2sin2A=4R2sin22B
∴a2=b（b+c）

（3）【解析】
若△ABC是倍角三角形，由∠A=2∠B，应有a2=b（b+c），且a＞b．
当a＞c＞b时，设a=n+1，c=n，b=n-1，（n为大于1的正整数）
代入a2=b（b+c），得（n+1）2=（n-1）•（2n-1），解得n=5，
有a=6，b=4，c=5，可以证明这个三角形中，∠A=2∠B
当c＞a＞b及a＞b＞c时，
均不存在三条边长恰为三个连续正整数的倍角三角形．
边长为4，5，6的三角形为所求．