Question

（2005•双柏县）已知：△ABC中，AB=10．
（1）如图①，若点D、E分别是AC、BC边的中点，求DE的长；
（2）如图②，若点A₁，A₂把AC边三等分，过A₁，A₂作AB边的平行线，分别交BC边于点B₁，B₂，求A₁B₁+A₂B₂的值；
（3）如图③，若点A₁，A₂，…，A₁₀把AC边十一等分，过各点作AB边的平行线，分别交BC边于点B₁，B₂，…B₁₀．根据你所发现的规律，直接写出A₁B₁+A₂B₂+…+A₁₀B₁₀的结果．

Answer

（1）根据三角形的中位线定理进行计算；
（2）设A1B1=x，根据三角形的中位线定理和梯形的中位线定理列方程求解；
（3）根据（1）和（2）的解答过程，发现每一条线段的长和总线段之间的关系：有n等分点的时候，则A1B1=，A2B2=，…An-1Bn-1=．
【解析】
（1）∵D、E分别是AC、BD的中点，且AB=10，
∴DE=AB=5；

（2）设A1B1=x，则A2B2=2x．
∵A1、A2是AC的三等分点，且A1B1∥A2B2∥AB，
∴A2B2是梯形A1ABB1的中位线，即：x+10=4x，得x=，
∴A1B1+A2B2=10；

（3）同理可得：A1B1+A2B2+…+A10B10=．