Question

（2006•安徽）如图，已知长方形ABCD，过点C引∠A的平分线AM的垂线，垂足为M，AM交BC于E，连接MB，MD．
（1）求证：BE=DC；
（2）求证：∠MBE=∠MDC．

Answer

根据已知可得到△BAE为等腰直角三角形，又因为AB=CD则BE=CD．由已知可得△MEC为等腰直角三角形，即ME=CM，又因为BE=DC，可求得∠BEM=∠DCM，从而利用SAS判定△BEM≌△DCM，全等三角形的对应角相等，所以∠MBE=∠MDC．
证明：（1）∵AM平分∠BAD，∠BAD=90°，
∴∠BAE=45°∴△BAE为等腰直角三角形，
又AB=DC，∴BE=DC．

（2）由CM⊥AM易得，∠EMC=90°，
又∵∠BAE=45°，∠BEA=45°，
∴∠MEC=45°，
∴∠MEC=∠MCE，
∴△MEC为等腰直角三角形，
∴ME=CM且∠MEC=∠MCE=45°，
∴∠BEM=∠DCM=135°．
又BE=DC，
∴△BEM≌△DCM．
∴∠MBE=∠MDC．