Question

（2006•厦门）如图，点在⊙O的直径AB交TP于P，若PA=18，PT=12，PB=8．
（1）求证：△PTB∽△PAT；
（2）求证：PT为⊙O的切线；
（3）在上是否存在一点C，使得BT²=8TC？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据题意有切割线定理易得，∠P为公共角；故可得△PTB∽△PAT；
（2）连接OT，根据勾股定理易得在△ABC中，∠PTO=90°；故PT为⊙O的切线；
（3）假设存在，根据题意推导可得．
（1）证明：∵∠P=∠P，
∵PT2=PA•PB，
∴．
∴△PTB∽△PAT．

（2）证明：连接OT，
∵PO2-PT2=OT2，
∴在△ABC中，∠PTO=90°．
∵T为⊙O上一点，
∴PT为⊙O的切线．
（3）在AT弧上存在一点C，使得BT2=8TC
证明：∵∠ABT 是△PBT的一个外角
∴∠ABT＞∠P
过点B作BC交AT弧于点C，使∠CBT=∠P
连OT，则OT⊥PT，
∴∠1+∠PTB=90°，
而∠1+∠2=90°，∠2=∠A，
∴∠PTB=∠A，
而∠A=∠C，
∴∠PTB=∠C，
∴△PBT∽△BTC
∴BT：TC=PB：BT
又∵PB=8，
∴BT2=8TC，即在AT弧上存在一点C，使得BT2=8TC．