Question

（2006•柳州）如图，抛物线y=-x²+2mx+m+2的图象与x轴交于A（-1，0），B两点，在x轴上方且平行于x轴的直线EF与抛物线交于E，F两点，E在F的左侧，过E，F分别作x轴的垂线，垂足是M，N．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；
（2）设BN=t，矩形EMNF的周长为C，求C与t的函数表达式；
（3）当矩形EMNF的周长为10时，将△ENM沿EN翻折，点M落在坐标平面内的点记为M'，试判断点M'是否在抛物线上？并说明理由．

Answer

（1）因为抛物线上的点的坐标符合解析式，将A的坐标代入解析式即可求得m的值，进而求出解析式，即可求得顶点坐标；
（2）求出A、B两点坐标，可表示出MN的长，求出F点纵坐标，可知NF的长，利用矩形面积公式即可求出C与t的函数表达式；
（3）根据反折变换的性质（反折前后图形全等），结合勾股定理，求出M’点坐标，代入二次函数解析式验证．
【解析】
（1）由于抛物线过点A（-1，0），
于是将A代入y=-x2+2mx+m+2
得-1-2m+m+2=0，
解得m=1，
函数解析式为y=-x2+2x+3，
解析式可化为y=-（x-1）2+4，顶点纵坐标为（1，4）．

（2）因为函数解析式为y=-x2+2x+3，
所以当y=0时可得-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，
则AB=3-（-1）=4．
又因为BN=t，M、N关于对称轴对称，
所以AM=t．于是MN=4-2t，
N点横坐标为3-t，代入抛物线得：yF=-t2+4t．
于是C=2（4-2t）-2（t-2）2+8，
整理得C=-2t2+4t+8；

（3）当-2t2+4t+8=10时，解得t=1，MN=4-2t=4-2=2；
FN=-12+4=3，因为t=1，所以M与O点重合，连接MM'、EN，
且MM'和E相交于K，根据反折变换的性质，MK=M'K．
根据同一个三角形面积相等，2×3=•MK
于是MK=，MM'=
作M'H⊥MN的延长线于H．
设NH=a，HM′=b，
于是在Rt△NHM'和RT△MHM'中，，
解得a=，b=．
于是MH=2+=．
M'点坐标为（，），
代入函数解析式y=-x2+2x+3，y=-x2+2x+3=-（）2+2×+3=≠，点M'不在抛物线上．