Question

（2006•武汉）（北师大版）如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为-1，直线a：y=-x-与坐标轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（4，1），⊙B与X轴相切于点M．
（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；
（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，同时，直线a绕点A顺时针匀速旋转．当⊙B第一次与⊙O相切时，直线a也恰好与⊙B第一次相切．问：直线AC绕点A每秒旋转多少度；
（3）如图2，过A，O，C三点作⊙O₁，点E是劣弧上一点，连接EC，EA．EO，当点E在劣弧上运动时（不与A，O两点重合），的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由

Answer

（1）已知点A，C的坐标，故可推出OA=OC，最后可得∠CAO=45°．
（2）依题意，设⊙B平移t秒到⊙B1处与⊙O第一次相切，连接B1O，B1N，则MN=3．连接B1A，B1P可推出∠PAB1=∠NAB1．又因为OA=OB1=，故∠AB1O=∠NAB1，∠PAB1=∠AB1O继而推出PA∥B1O．然后在Rt△NOB1中∠B1ON=45°，∴∠PAN=45°得出∠PAC=90°．然后可得直线AC绕点A平均每秒90度．
（3）在CE上截取CK=EA，连接OK，证明△OAE≌△OCK推出OE=OK，∠EOA=∠KOC，∠EOK=∠AOC=90°．最后可证明=．
【解析】
（1）令直线a：y=-x-中，y=0求出x=-，
∴A（-，0），
令x=0求出y=-，∴C（0，-），
∴OA=OC，
∵OA⊥OC，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠CAO=45°；

（2）如图，设⊙B平移t秒到⊙B1处与⊙O第一次相切，此时，直线α旋转到α1恰好与⊙B1第一次相切于点P，⊙B1与x轴相切于点N，
连接B1O，B1N，则MN=t，OB1=，
B1N⊥AN，∴MN=3，即t=3．
连接B1A，B1P．则B1P⊥AP，B1P=B1N．∴∠PAB1=∠NAB1
∵OA=OB1=，∴∠AB1O=∠NAB1∴∠PAB1=∠AB1O．∴PA∥B1O．
在Rt△NOB1中，∠B1ON=45°，
∴∠PAN=45°，∴∠PAC=90°，即顺时针转动270°，
∴直线AC绕点A平均每秒90°．

（3）的值不变，等于，如图
在CE上截取CK=EA，连接OK，
∵∠OAE=∠OCK，OA=OC，
∴△OAE≌△OCK，
∴OE=OK，∠EOA=∠KOC，
∴∠EOK=∠AOC=90°，
∴EK=EO，∴=．