Question

（2006•徐州）如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D₁、E₁、F₁分别是△ABC三边上的点，且AD₁=BE₁=CF₁=AB，连接D₁E₁、E₁F₁、F₁D₁，可得△D₁E₁F₁是等边三角形，此时△AD₁F₁的面积S₁=S，△D₁E₁F₁的面积S₁=S．
（1）当D₂、E₂、F₂分别是等边△ABC三边上的点，且AD₂=BE₂=CF₂=AB时如图2，
①求证：△D₂E₂F₂是等边三角形；
②若用S表示△AD₂F₂的面积S₂，则S₂=______；若用S表示△D₂E₂F₂的面积S₂′，则S₂′=______．
（2）按照上述思路探索下去，并填空：
当D_n、E_n、F_n分别是等边△ABC三边上的点，AD_n=BE_n=CF_n=AB时，（n为正整数）△D_nE_nF_n是______三角形；
若用S表示△AD_nF_n的面积S_n，则S_n=______；若用S表示△D_nE_nF_n的面积S_n′，则S′_n=______．

Answer

（1）由等边三角形的性质和已知条件可证△AD2F2≌△BE2D2≌△CF2E2，得D2E2=E2F2=F2D2所以△D2E2F2为等边三角形．
（2）（3）由等边三角形的性质和面积公式可求．
【解析】
（1）①∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，（1分）
由已知得AD2=AB，BE2=BC，
∴AF2=AC，BD2=AB
∴AD2=BE2，AF2=BD2（2分）
△AD2F2≌△BE2D2（3分）
∴D2E2=F2D2
同理可证△AD2F2≌△CF2E2
F2D2=E2F2（4分）
∴D2E2=E2F2=F2D2
∴△D2E2F2为等边三角形；（5分）
②；（6分）
S′2=S-S×3=S（7分）

（2）由（1）可知：△DnEnFn等边三角形；（8分）
由（1）的方法可知：，S3=S，…；（9分）
S2′=S，S3′=…．（10分）