Question

（2006•徐州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=x交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求△OAC的面积；
（3）若P为线段OA（不含O、A两点）上的一个动点，过点P作PD∥AB交直线OC于点D，连接PC．设OP=t，△PDC的面积为S，求S与t之间的函数关系式；S是否存在最大值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．

Answer

（1）因为直线y=-2x+12与直线y=x交于点C，所以令x=y，即可得到x=-2x+12，解之即可求出点A的坐标；
（2）因为直线y=-2x+12与x轴交于点A，所以令y=0，即可求出A的坐标，也可求出OA的值，利用S△OAC=×OA×4即可求出三角形的面积；
（3）可分别过点C、D作OA的垂线，设垂足分别为M、N点，因为PD∥AC，所以，即=，所以DN=t，又因S=S△OAC-S△OPD-S△PAC，将有关数据代入即可求得S与t之间的函数关系式，利用所求的二次函数解析式，结合t的取值即可得到当t=3时，S有最大值，最大值为3．
【解析】
（1）∵直线y=-2x+12与直线y=x交于点C，
∴x=-2x+12，
解得x=4，（1分）

所以y=4，所以C点的坐标为（4，4）．（2分）

（2）由-2x+12=0得x=6，（3分）
所以S△OAC=×6×4=12．（4分）

（3）如图，分别过点C、D作OA的垂线，垂足分别为M、N点，
因为PD∥AC，所以，（5分）
即=，所以DN=t．（6分）
所以S=S△OAC-S△OPD-S△PAC（7分）
=12-OP•DN-PA•CM=12-t•t-（6-t）•4=-t2+2t=-（t-3）2+3．（8分）
当t=3时，S有最大值，最大值为3．（10分）