Question

（2006•莱芜）如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D，E在直线BC上运动．设BD=x，CE=y．
（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；
（2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，当α，β满足怎样的关系时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由．

Answer

（1）利用等腰三角形的性质得∠ABD=∠ACE=105°，利用等量代换求得∠CAE=∠ADB，故△ADB∽△EAC后，得，即所以y=；
（2）要使y=，即成立，则要△ADB∽△EAC．由于∠ABD=∠ECA，故只须∠ADB=∠EAC，利用三角形的内角和和邻补角的概念求得∠EAC+∠BAD=β-α，∠ADB+∠BAD=∠ABC=90°-，所以只90°-=β-α，须即β-=90°．
【解析】
（1）在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠ABD=∠ACE=105°，
∵∠DAE=105°，
∴∠DAB+∠CAE=75°，
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°，
∴∠CAE=∠ADB，
∴△ADB∽△EAC，
∴
即，所以y=；

（2）当α、β满足关系式β-时，函数关系式y=成立，
理由如下：∵β-=90°，
∴β-α=90°-．
又∵∠EAC=∠DAE-∠BAC-∠DAB=β-α-∠DAB，
∠ADB=∠ABC-∠DAB=90°--∠DAB，
∴∠ADB=∠EAC；
又∵∠ABD=∠ECA，
∴△ADB∽△EAC，
∴，
∴，
∴y=．