Question

（2006•聊城）如图，在等腰Rt△ABC中，P是斜边BC的中点，以P为顶点的直角的两边分别与边AB，AC交于点E，F，连接EF．当∠EPF绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），△PEF也始终是等腰直角三角形，请你说明理由．

Answer

要想证明△PEF始终是等腰直角三角形，得证明∠EPF=90°，PE=PF．证线段相等通常是证明线段所在的三角形全等．而等腰三角形最常用的辅助线是用“三线合一”作辅助线，构造三角形全等．
【解析】
理由如下：
连接PA，
∵PA是等腰△ABC底边上的中线，
∴PA⊥PC（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一））．
又AB⊥AC，
∴∠1=90°-∠PAC，∠C=90°-∠PAC，
∴∠1=∠C（等量代换）．
同理可得PA⊥PC，PE⊥PF，
∴∠2=90°-∠APF，∠3=90°-∠APF，
∴∠2=∠3．
由PA是Rt△ABC斜边上的中线，得：
PA=BC=PC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
在△PAE和△PCF中，∠1=∠C，PA=PC，∠2=∠3，
∴△PAE≌△PCF（ASA）．
∴PE=PF（全等三角形对应边相等），
则△PEF始终是等腰直角三角形．