Question

（2006•临沂）已知正方形ABCD．
（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BE=GH；
（2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD，BC于点E，F，交AB，CD于点G，H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；
（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m，n，m与AD，BC的延长线分别交于点E，F，n与AB，DC的延长线分别交于点G，H，试就该图形对你的结论加以证明．

Answer

（1）通过构建全等三角形来证明，过点A作GH的平行线，交DC于点H′，交BE于点O′．那么GH=AH′，要证明GH=BE只要证明三角形AH′D和三角形AEB全等即可．这两个三角形中已知的条件有AD=AB，有一组直角，只要再求出一组对应角相等即可得出全等的结论，我们发现∠EAO′和∠ABE同为∠BEA的余角，因此∠EAO′=∠ABE，由此就构成了全等三角形判定中的ASA，所以两三角形全等，那么就能得出BE=AH′=GH了；
（2）应该相等，作法同（1），只不过要作两条辅助线，即过D作GH的平行线和过C作EF的平行线，证法和思路与（1）完全一样，因此结果也一样．
（3）也要通过构建全等三角形来证明，过点A作m的平行线交BC于点F′，过点D作n的平行线交AB于点G′．因此四边形AF′FE是个平行四边形，那么AF′=EF，同理GH=G′D，那么只要证明三角形AG′D和三角形ABF′全等即可，证明的过程和思路与（1）（2）都是一样的．得出两三角形全等后，自然EF=GH了．
（1）证明：在图1中，过点A作GH的平行线，交DC于点H′，交BE于点O'．
∵ABCD是正方形，
∴∠D=90°，∠H′AD+∠AH′D=90°．
∵GH⊥BE，AH′∥GH，
∴AH′⊥BE．
∴∠H′AD+∠BEA=90°．
∴∠BEA=∠AH′D．
在△BAE和△ADH′中，，
∴△BAE≌△ADH′（AAS），
∴BE=AH′=GH；

（2）【解析】
EF=GH，理由如下：
过E作EM⊥BC，过G作GN⊥CD，
∴∠EMF=∠GNH=90°，
又GH⊥EF，∴∠EOG=∠GOF=90°，
∴∠MEF+∠EQG=90°，∠NGH+∠EQG=90°，
∴∠MEF=∠NGH，又GN=EM，
∴△EMF≌△GNH，
∴EF=GH；

（3）【解析】
相等．
证明：在图3中，过点A作m的平行线交BC于点F′，过点D作n的平行线交AB于点G′．
则有EF=AF′，G′D=GH，
由（1）可知，Rt△ABF′≌Rt△DAG′，
∴AF′=DG′．
从而可证明EF=GH．