Question

（2006•威海）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=BC=6cm，M、N为同时从A点出发的两个动点，点M沿A⇒D⇒C⇒B的方向运动，速度为2cm/秒；点N沿A⇒B的方向运动，速度为1cm/秒．当M、N其中一点到达B点时，点M、N运动停止．设点M、N的运动时间为x秒，以点A、M、N为顶点的三角形的面积为ycm²．
（1）试求出当0＜x＜3时，y与x之间的函数关系式；
（2）试求出当4＜x＜7时，y与x之间的函数关系式；
（3）当3＜x＜4时，以A、M、N为顶点的三角形与以B、M、N为顶点的三角形是否有可能相似？若相似，试求出x的值；若不相似，试说明理由．

Answer

（1）由题意可证∠A=60˚，进而由三角函数可求△AMN的面积即y=x2．
（2）过点M作MG⊥AB，垂足为G．可证△MGB∽△CFB，即求GM=（7-x），所以△AMN的面积即y=x-x2．
（3）当3＜x＜4时，以A，M，N为顶点的三角形与以B，M，N为顶点的三角形不可能相似．
当x=3时，动点M与点D重合时，动点N恰好与点E重合，此时∠MNA=90˚．
当3＜x＜4时，∠MNA必为钝角．则∠MNA≠∠MNB，而∠MNA=∠NMB+∠MBN，因此，△AMN与△BMN不可能相似．
【解析】
（1）如图①，过D作DE⊥AB，垂足为E；过C作CF⊥AB，垂足为F．
∴CD=EF=2．
∵AD=BC，DE=CF，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF．
∴AE=BF=3．（1分）
在Rt△ADE中，AD=6，AE=3，
∴∠ADE=30˚，∠A=60˚
∴在△AMN中，AN=x，高为2x•sin60°=x．
∴y=•x•x．即y=x2．

（2）如图②，过点M作MG⊥AB，垂足为G．
∵MG∥CF，
∴△MGB∽△CFB．
∴GM：CF=BM：BC．
∵CF=DE=，
∴GM：3=（6+2+6-2x）：6．
∴GM=（7-x）．
∴y=（7-x）．
即y=x-x2．

（3）当3＜x＜4时，以A，M，N为顶点的三角形与以B，M，N为顶点的三角形不可能相似．
当x=3时，动点M与点D重合时，动点N恰好与点E重合，此时∠MNA=90˚．
当3＜x＜4时，∠MNA必为钝角．则∠MNA≠∠MNB，而∠MNA=∠NMB+∠MBN，因此，△AMN与△BMN不可能相似．