Question

（2006•临汾）如图，网格中每个小正方形的边长均为1．在AB的左侧，分别以△ABC的三边为直径作三个半圆围成图中的阴影部分．
（1）图中△ABC是什么特殊三角形？
（2）求图中阴影部分的面积；
（3）作出阴影部分关于AB所在直线的对称图形．

Answer

（1）根据轴对称的知识可得，△ABC是等腰直角三角形；
（2）先求以AC，BC，AB为直径的半圆面积分别为S1，S2，S3，再求S阴影=S1+S2+S△ABC-S3即可；
（3）以AB为对称轴，作图即可．
【解析】
（1）∵四边形ADCE时正方形，
∴∠DAC=45°，
同理∠CBA=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形；（2分）

（2）设以AC，BC，AB为直径的半圆面积分别为S1，S2，S3；
解法1：在等腰直角三角形ABC中，
∵AB=8，由勾股定理，可得AC=BC=4．
∴S阴影=S1+S2+S△ABC-S3（3分）
=π（2）2+π（2）2+×（4）2-π×42，
=16．（5分）
解法2：S阴影=S1+S2+S△ABC-S3（3分）
=π（）2+π（）2+S△ABC-π（）2，
=π（AC2+BC2-AB2）+S△ABC．（4分）
在Rt△ABC中，由勾股定理知，AC2+BC2=AB2，
∴S阴影=S△ABC=×8×4=16．（5分）

（3）作图正确（如右图）．（8分）