Question

（2006•汾阳市）如图，点E在正方形ABCD的边CD上运动，AC与BE交于点F．
（1）如图1，当点E运动到DC的中点时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；
（2）如图2，当点E运动到CE：ED=2：1时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；
（3）当点E运动到CE：ED=3：1时，写出△ABF与四边形ADEF的面积之比；当点E运动到CE：ED=n：1（n是正整数）时，猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比（只写结果，不要求写出计算过程）；
（4）请你利用上述图形，提出一个类似的问题

Answer

连接DF，易得△FEC∽△FBA，根据相似三角形的性质，按前两个小题不同的要求可得△CEF与△ADF的面积的比．
（1）中为；
（2）中为；进而可得△ABF与四边形ADEF的面积之比；
（3）分析可得规律有当CE：ED=n：1时，可得答案；
（4）根据（3）的结论，提出类似的问题即可．
【解析】
（1）如图1，连接DF．
因为点E为CD的中点，所以．
据题意可证△FEC∽△FBA，所以．（2分）
因为S△DEF=S△CEF，S△ABF=S△ADF，（2分）
所以．（4分）

（2）如图2，连接DF．
与（1）同理可知，，
S△ABF=S△ADF，
所以．（8分）

（3）当CE：ED=3：1时，．（9分）
当CE：ED=n：1时，．（12分）

（4）提问举例：
①当点E运动到CE：ED=5：1时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少；
②当点E运动到CE：ED=2：3时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少；
③当点E运动到CE：ED=m：n（m，n是正整数）时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少．
评分说明：提出类似①的问题给1分，类似②的问题给3分，类似③的问题给4分；附加分最多4分，可计入总分，但总分不能超过120分．