Question

（2006•成都）已知：如图，在正方形ABCD中，AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C，D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD，AE，BC于点F，H，G，交AB的延长线于点P．
（1）设DE=m（0＜m＜12），试用含m的代数式表示的值；
（2）在（1）的条件下，当时，求BP的长．

Answer

（1）通过构建相似三角形来求解，过点H作MN∥AB，分别交AD，BC于M，N两点．那么MH就是三角形ADE的中位线，MH=m，那么HN=12-m，只要证出两三角形相似，就可表示出FH：HG的值，已知了一组对顶角，一组直角，那么两三角形就相似，FH：HG=MH：NH，也就能得到所求的值．
（2）可通过构建相似三角形求解，过点H作HK⊥AB于点K，那么HN=KB，MH=AK，根据FH：HG=1：2，就能求出m的值，也就求出了MH，HN的长，又知道了HK的长，那么通过三角形AKH和HKP相似我们可得出关于AK，KH，KP的比例关系，就可求出KP的长，然后BP=KP-KB就能求出BP的长了．
【解析】
（1）过点H作MN∥AB，分别交AD，BC于M，N两点，
∵FP是线段AE的垂直平分线，
∴AH=EH，
∵MH∥DE，
∴Rt△AHM∽Rt△AED，
∴==1，
∴AM=MD，即点M是AD的中点，
∴AM=MD=6，
∴MH是△ADE的中位线，MH=DE=m，
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABNM是矩形，
∵MN=AD=12，
∴HN=MN-MH=12-m，
∵AD∥BC，
∴Rt△FMH∽Rt△GNH，
∴，
即（0＜m＜12）；

（2）过点H作HK⊥AB于点K，则四边形AKHM和四边形KBNH都是矩形．
∵，
解得m=8，
∴MH=AK=m=8=4，HN=KB=12-m=12-8=8，KH=AM=6，
∵Rt△AKH∽Rt△HKP，
∴，即KH2=AK•KP，
又∵AK=4，KH=6，
∴62=4•KP，解得KP=9，
∴BP=KP-KB=9-8=1．