Question

（2006•雅安）如图，已知二次函数y=-x²+4x+c的图象经过坐标原点，并且与函数y=x的图象交于O、A两点．
（1）求c的值；
（2）求A点的坐标；
（3）若一条平行于y轴的直线与线段OA交于点F，与这个二次函数的图象交于点E，求线段EF的最大长度．

Answer

（1）二次函数y=-x2+4x+c的图象经过坐标原点，把（0，0）代入解析式就可以求出c的值．
（2）解抛物线的解析式与函数y=x的解析式组成的方程组就可以求出A点的坐标．
（3）直线OA的解析式可以利用待定系数法求出函数的解析式，设E点的横坐标是x，把x代入抛物线的解析式，以及直线OA的解析式，就可以求出两个函数交点的纵坐标，纵坐标的差就是EF的长，EF的长可以表示成x的函数．可以转化为函数的最值问题．
【解析】
（1）（0，0）代入y=-x2+4x+c
解得：c=0．

（2）根据题意得到，
解得，
则A（7，）．

（3）设此直线为x-a，则E（a，-+4a），F（a，），
∴EF=-a2+4a-a=-a2+a
=-（a-）2+
∴当a=时，EF最大长度为．