Question

（2006•天津）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．
（Ⅰ）如图①，若半径为r₁的⊙O₁是Rt△ABC的内切圆，求r₁；
（Ⅱ）如图②，若半径为r₂的两个等圆⊙O₁、⊙O₂外切，且⊙O₁与AC、AB相切，⊙O₂与BC、AB相切，求r₂；
（Ⅲ）如图③，当n大于2的正整数时，若半径r_n的n个等圆⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n依次外切，且⊙O₁与AC、BC相切，⊙O_n与BC、AB相切，⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃、…、⊙O_n-1均与AB边相切，求r_n．

Answer

（I）连接三角形的内心和三角形的各个顶点，根据三角形的总面积等于分割成的三个小三角形的面积，进行计算；
（II）连接两圆的圆心和每个圆的圆心和三角形的三个顶点，把大三角形分割成了三个三角形和一个梯形，根据三角形的总面积等于四部分的面积的和，进行计算；
（III）连接第一个圆和最后一个圆的圆心，以及两个圆的圆心和三角形的三个顶点，根据（II）的思路进行计算．
【解析】
（I）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10．
如图1，设⊙O1与Rt△ABC的边AB，BC，CA分别切于点D，E，F．
连接O1D，O1E，O1F，AO1，BO1，CO1．
于是O1D⊥AB，O1E⊥BC，O1F⊥AC．
，，，．
又∵，
∴24=3r1+4r1+5r1，
∴r1=2．

（II）如图2，连接AO1，BO2，CO1，CO2，O1O2，则
，．
∵等圆⊙O1，⊙O2外切，
∴O1O2=2r2，且O1O2∥AB．
过点C作CM⊥AB于点M，交O1O2于点N，则
，．
∴，
∴．
∵，
∴3r2+4r2+（-r2）•r2+（r2+5）r2=24，
解得r2=．

（III）如图3，连接AO1，BOn，CO1，COn，O1On，则
，．
∵等圆⊙O1，⊙O2，…，⊙On依次外切，且均与AB边相切，
∴O1，O2，…，On均在直线O1On上，且O1On∥AB，
∴O1On=（n-2）2rn+2rn=2（n-1）rn．
过点C作CH⊥AB于点H，交O1On于点K，
则．
，．
∵，
∴．
解得．