Question

（2006•宁波）已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的⊙O与射线AC只有一个公共点，那么x的取值范围是    ．

Answer

如果半径为1的⊙O与射线AC只有一个公共点，则有两种情况，①当圆O与AC相切，连接圆心与切点的连线，由等腰直角三角形的性质求得OA的值；②当如图位置时，OA小于圆的半径，得到0＜x＜1．
【解析】
分两种情况：
①如右图，当圆O与AC相切时，圆O与AC只有一个公共点，设切点为E，连接OE
∴∠OAE=45°，
∵∠A=45°，
∴△OEA是等腰直角三角形，则
x=AO==；
②当为左图时，点A在圆O内部时，圆O与AC只有一个公共点，此时OA小于圆O的半径1，故有0＜x＜1．