Question

（2006•衢州）在等腰梯形ABCD中，已知AB=6，BC=，∠A=45°，以AB所在直线为x轴，A为坐标原点建立直角坐标系，将等腰梯形ABCD饶A点按逆时针方向旋转90°得到等腰梯形OEFG（O﹑E﹑F﹑G分别是A﹑B﹑C﹑D旋转后的对应点）（图1）
（1）写出C﹑F两点的坐标；
（2）等腰梯形ABCD沿x轴的负半轴平行移动，设移动后的OA=x（图2），等腰梯形ABCD与等腰梯形OEFG重叠部分的面积为y，当点D移动到等腰梯形OEFG的内部时，求y与x之间的关系式；
（3）线段DC上是否存在点P，使EFP为等腰三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）求这两点的坐标其实求出其中一个也就知道另外一个的坐标了，我们求C的坐标即可．如果过点C向x轴引垂线，那么组成的以BC为斜边的小直角三角形中，两直角边的长就都应该是2（可根据BC=2，∠A=∠C=45°，用正弦或余弦函数就能求出），那么C点的坐标就应该是（4，2）．而F点的横坐标的绝对值等于C点纵坐标的绝对值，F点的纵坐标的绝对值等于C点横坐标的绝对值，因此F的坐标应是（-2，4）．
（2）在（1）中，我们得出了点C的坐标，那么用同样的方法可得出D点的坐标（2，2），当梯形向左平移x单位后，设DC与y轴交于H，那么DH=x-2．这样我们可以根据重合部分的面积=梯形DHOA的面积-三角形AQO的面积（设AD、OG交于Q），那么关键是求出三角形AQO的面积，根据旋转的性质可知，∠GQD=90°，即三角形AQO是个直角三角形，又因为∠AQO=45°，OA=x，那么很明显三角形AQO的两直角边就应该是x，那么三角形AQO的面积=×（x）2=x2．在上面我们求出了DH的长，那么梯形AOHD的面积=×（x-2+x）×2=2x-2．因此重合部分的面积=梯形ADHO的面积-三角形AQM的面积=-x2+2x-2．也就求出了x、y的函数关系式．
（3）要分三种情况进行讨论：
①以E为顶点，EF、EP为腰的等腰三角形，
②以F为顶点，EF、FP为腰的等腰三角形．
③以P为顶点，FP、EP为腰的等腰三角形．
我们根据（1）的结果不难得出E点的坐标是（0，6），F点的坐标是（-2，4）．根据P在DC线上那么，可设P点坐标是（m，2）．那么可用坐标系中两点间的距离公式，分别按三种情况进行计算，得出符合条件的m的值．
【解析】
（1）C的坐标是（4，2），F的坐标是（-2，4）

（2）过D作DM⊥AB于M，过C作CN⊥AB于N，
图（1）中，在直角三角形AMD中，AD=2，∠DOM=45°，
因此DM=AM=2．
因此D点的坐标是（2，2）．
图（2），当OA=x时，设DC交y轴于H，AD交GO于Q，那么DH=x-2．
所以梯形AODH的面积=×（DH+OA）×DM=2x-2．
△AQO中，根据旋转的性质及旋转角度为90度．可得：
∠AQO=90°，
又因为∠QAM=45°，
因此AQ=QO=x，
所以△AQO的面积=×AQ×OQ=x2
因此重合部分的面积y=S梯形AODH-S△AQO=2x-2-x2
即：y=-x2+2x-2（2＜x＜4）

（3）由于P点在DC线上，设点P的坐标为（m，2）．
根据旋转的性质以及图（1）中，B、C两点的坐标可知：E点的坐标是（0，6），F点的坐标是（-2，4）．
①当以E为顶点，EF、EP为腰时，EF=EP=2，
因此（2）2=m2+（2-6）2，
即m2+16=8，此方程无解，
因此不存在这种情况．
②当以F为顶点，EF、FP为腰时，EF=FP=2，
因此（2）2=（m+2）2+（2-4）2，即m（m+4）=0，m=-4，m=0．
当m=-4时，P点坐标为（-4，2）．PE==4=2EF，
因此P、E、F在一条直线上构不成三角形，
因此此时P点的坐标应该是（0，2）．
③当以P为顶点，FP、EP为腰，EP=PF，
因此m2+（2-6）2=（m+2）2+（2-4）2，即m=2．
那么此时P的坐标为（2，2）．
综上所述，存在符合条件的P点且坐标为（2，2）或（0，2）．