Question

已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴的两个交点分别为A（x₁，0），B（x₂，0）（A在B的左边），且x₁+x₂=4．
（1）求b的值及c的取值范围；
（2）如果AB=2，求抛物线的解析式；
（3）设此抛物线与y轴的交点为C，顶点为D，对称轴与x轴的交点为E，问是否存在这样的抛物线，使△AOC和△BED全等，如果存在，求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）由已知得：x1、x2是方程-x2+bx+c=0的两根，则△＞0，及根与系数关系可求b的值及c的取值范围；
（2）由根与系数关系及AB=|x1-x2|，可求c的值；
（3）根据图形的全等分两种情况，当OC=DE时和当OC=BE时，分别讨论．
【解析】
（1）由已知得：x1、x2是方程-x2+bx+c=0的两根，
∴△=b2-4•（-1）•c＞0，x1+x2=b，
又x1+x2=4，
∴b=4，c＞-4；

（2）由（1）可得y=-x2+4x+c，x1+x2=4，x1•x2=-c，
而AB=|x1-x2|=2，
∴（x1-x2）2=4，
即（x1+x2）2-4x1x2=4，16+4c=4，
解得c=-3，
∴抛物线解析式为y=-x2+4x-3；

（3）存在；由（1）可得y=-x2+4x+c，
∴C（0，c），D（2，c+4）；
当OC=DE时，|c|=c+4，
解得c=-2，
当OC=BE时，AB=2OC，
即|x1-x2|=2|c|，
∴（x1-x2）2=4c2；16+4c=4c2
解得c=或；
满足题意的抛物线解析式为：y=-x2+4x+，y=-x2+4x+．