Question

如图，四边形ABCD是正方形，点N是CD的中点，M是AD边上不同于点A、D的点，若，求证：∠NMB=∠MBC．

Answer

分别延长BC、MN相交于点E，设AM=1，根据，求出BM=，则；所以DM=AD-AM=2，利用Rt△DMN可求得，MN=，根据△MDN≌△ECN（ASA），可求得CE=MD=2、，ME=MN+NE=5、BE=BC+CE=5，所以ME=BE即∠NMB=∠MBC．
证明：证法一：如图，
分别延长BC、MN相交于点E，
设AM=1，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DM=AD-AM=2，且，
在Rt△DMN中，，
又∵∠MDN=∠ECN=90°，∠MND=∠ENC，
∴△MDN≌△ECN（ASA），
∴CE=MD=2，，
∴ME=MN+NE=5，BE=BC+CE=5，
∴ME=BE，
∴∠NMB=∠MBC；

证法二：设AM=1，同证法一；
如图，
将△ABM绕点A顺时针旋转90°得到△BCE，连接ME，
∵∠BCE=∠BCD=90°，
∴∠NCE是平角，即点N、C、E三点共线，
∴∠BMA=∠BECCE=AM=1、BE=BM，
∴∠BME=∠BEM，
∵，
∴∠NME=∠NEM，
∴∠BME+∠NME=∠BEM+∠NEM，
∴∠BMN=∠BEC=∠AMB，
又∵∠AMB=∠MBC，
∴∠BMN=∠MBC．