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已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,2). (1)若a=1,抛物线顶点为A...

已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,2).
(1)若a=1,抛物线顶点为A,它与x轴交于两点B,C,且△ABC为等边三角形,求b的值;
(2)若abc=4,且a≥b≥c,求|a|+|b|+|c|的最小值.
(1)将(1,2)的坐标代入抛物线的解析式中,联立a=1,可得出b、c之间的关系式.如果△ABC是等边三角形,那么倍BC的长正好是A点纵坐标的绝对值,联立b、c的关系式可求出b的值. (2)易知:b+c=2-a,bc=,可将b、c看做是一元二次方程x2-(2-a)x+=0的两实根,那么可根据△≥0,求得a的大致取值范围为a≥4.由于abc=4>0,且a≥b≥c, 则说明①a、b、c均大于0,由于a≥4,如果三数均为正数,显然a+b+c>4≠2,因此不合题意. ②a正,b、c为负,那么此时|a|+|b|+|c|=a-(b+c)=a-(2-a)=2a-2,根据得出的a的取值范围,即可求出|a|+|b|+|c|的最小指. 【解析】 (1)由题意,a+b+c=2, ∵a=1, ∴b+c=1 抛物线顶点为A(-,c-) 设B(x1,0),C(x2,0), ∵x1+x2=-b,x1x2=c,△=b2-4c>0 ∴|BC|=|x1-x2|=== ∵△ABC为等边三角形, ∴-c= 即b2-4c=2•, ∵b2-4c>0, ∴=2, ∵c=1-b, ∴b2+4b-16=0,b=-2±2 所求b值为-2±2. (2)∵a≥b≥c,若a<0,则b<0,c<0,a+b+c<0,与a+b+c=2矛盾. ∴a>0. ∵b+c=2-a,bc= ∴b,c是一元二次方程x2-(2-a)x+=0的两实根. ∴△=(2-a)2-4×≥0, ∴a3-4a2+4a-16≥0,即(a2+4)(a-4)≥0,故a≥4. ∵abc>0, ∴a,b,c为全大于0或一正二负. ①若a,b,c均大于0, ∵a≥4,与a+b+c=2矛盾; ②若a,b,c为一正二负,则a>0,b<0,c<0, 则|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-(2-a)=2a-2, ∵a≥4, 故2a-2≥6 当a=4,b=c=-1时,满足题设条件且使不等式等号成立. 故|a|+|b|+|c|的最小值为6.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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