Question

（2007•兰州）如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF．
（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）
①当△ABC满足______条件时，四边形DAEF是矩形；
②当△ABC满足______条件时，四边形DAEF是菱形；
③当△ABC满足______条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．

Answer

（1）、根据等边三角形的性质证△ABC≌△DBF≌△EFC，就有AD=EF，DF=CE，从而得证四边形DAEF是平行四边形；
（2）、当∠BAC=150°，∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，所以平行四边形DAEF是矩形；
当AB=AC≠BC，有AD=AE，所以平行四边形DAEF是菱形；
当∠BAC=60°，△FBC与△ABC重合，故以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．
（1）证明：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
BD=BA，BF=BC，∠DBA=∠FBC=60°，
∴∠DBA-∠FBA=∠FBC-∠FBA，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC和△DBF中，
∴△ABC≌△DBF．（2分）
∴AC=DF=AE．（3分）
同理△ABC≌△EFC．
∴AB=EF=AD．（4分）
∴四边形ADFE是平行四边形．（6分）

（2）【解析】
当∠BAC=150°，∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，
∴平行四边形DAEF是矩形．
当AB=AC≠BC，有AD=AE，
∴平行四边形DAEF是菱形．
当∠BAC=60°，△FBC与△ABC重合，故以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．