Question

（2007•天水）如图1，已知点A₁，A₂，A₃是抛物线y=x²上的三点，线段A₁B₁，A₂B₂，A₃B₃都垂直于x轴，垂足分别为点B₁，B₂，B₃，延长线段B₂A₂交线段A₁A₃于点C．
（1）在图（1）中，若点A₁，A₂，A₃的横坐标依次为1，2，3，求线段CA₂的长；
（2）若将抛物线改为y=x²-x+1，如图2，点A₁，A₂，A₃的横坐标依次为三个连续整数，其他条件不变，求线段CA₂的长．

Answer

（1）已知了A1，A2，A3三点的横坐标，可代入抛物线的解析式中求出A1B1，A2B2，A3B3的长，由于A1，A2，A3的横坐标是连续的三个整数，那么可用中位线定理来求出CB2的长，由此可根据CA2=CB2-A2B2，求出CA2的长．
（2）可先设出A1，A2，A3的横坐标依，由于这三个横坐标也是连续的整数，因此可按照（1）的方法进行求解．
【解析】
（1）∵点A1，A2，A3的横坐标依次为1，2，3，
∴A1B1=×1=，A2B2=×4=2，A3B3=×9=；
由于A1B1∥A2B2∥A3B3，且B1B2=B2B3，
∴CB2=（A1B1+A3B3）=，
∴CA2=CB2-A2B2=-2=．

（2）设：点A1，A2，A3的横坐标依次为n-1，n，n+1，
∴A1B1=（n-1）2-（n-1）+1，A2B2=n2-n+1，A3B3=（n+1）2-（n+1）+1；
由于A1B1∥A2B2∥A3B3，且B1B2=B2B3，
∴CB2=（A1B1+A3B3）=[（n-1）2-（n-1）+1+（n+1）2-（n+1）+1]=n2-n+，
∴CA2=CB2-A2B2=n2-n+-（n2-n+1）=．