Question

（2007•梅州）如图，△ABC中，AB=2，BC=2，AC=4，E，F分别在AB，AC上，沿EF对折，使点A落在BC上的点D处，且FD⊥BC．
（1）求AD的长；
（2）判断四边形AEDF的形状，并证明你的结论．

Answer

（1）因为AC2=AB2+BC2，根据勾股定理和逆定理知，△ABC是直角三角形，∠B=90°，由折叠的性质知，AF=DF，∠AFE=∠DFE=（180°-∠DFC）÷2=60°，则EF是等腰三角形△AFD的顶角的平分线，也是△AFD的底边上的高所在的直线，∴EF⊥AD，所以∠FAD=∠FDA=30°，所以∠DAB=30°，由ADcos30°=AB，而求得AD的值．
（2）由（1）知，先证AEDF是平行四边形，再证AF=FD，所以四边形AEDF是菱形．
【解析】
（1）因为AB=2，BC=2，AC=4，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B=90°，
又∵AC=2AB，
∴∠C=30°，∠BAC=60°
由FD⊥BC，得∠DFC=60°，
又∵AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA=30°，
∴∠DAB=30°，
∴ADcos30°=AB，得．

（2）四边形AEDF是菱形．
证明：∵AB⊥BC，FD⊥BC，
∴AE∥FD，
∵∠BAC=60°，
∴∠AFD=120°，
∵∠DAF=30°，AF=DF，
∴∠ADF=30°，
∴∠EAD=∠ADE=30°，
∴∠EDF=60°，
∴AF∥ED，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AF=DF，
∴平行四边形AEDF是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．