Question

（2007•河池）如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ．
（1）点______（填M或N）能到达终点；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）（BC÷点N的运动速度）与（OA÷点M的运动速度）可知点M能到达终点．
（2）经过t秒时可得NB=y，OM-2t．根据∠BCA=∠MAQ=45°推出QN=CN，PQ的值．求出S与t的函数关系式后根据t的值求出S的最大值．
（3）本题分两种情况讨论（若∠AQM=90°，PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高；若∠QMA=90°，QM与QP重合）求出t值．
【解析】
（1）点M．（1分）

（2）经过t秒时，NB=t，OM=2t，
则CN=3-t，AM=4-2t，
∵A（4，0），C（0，4），
∴AO=CO=4，
∵∠AOC=90°，
∴∠BCA=∠MAQ=45°，
∴QN=CN=3-t
∴PQ=1+t，（2分）
∴S△AMQ=AM•PQ=（4-2t）（1+t）=-t2+t+2．（3分）
∴S=-t2+t+2=-t2+t-++2=-（t-）2+，（5分）
∵0≤t＜2
∴当时，S的值最大．（6分）

（3）存在．（7分）
设经过t秒时，NB=t，OM=2t
则CN=3-t，AM=4-2t
∴∠BCA=∠MAQ=45°（8分）
①若∠AQM=90°，则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高
∴PQ是底边MA的中线
∴PQ=AP=MA
∴1+t=（4-2t）
∴t=
∴点M的坐标为（1，0）（10分）
②若∠QMA=90°，此时QM与QP重合
∴QM=QP=MA
∴1+t=4-2t
∴t=1
∴点M的坐标为（2，0）．（12分）