Question

（2007•南宁）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（-2，0），B（8，0），以AB为直径的半圆与y轴交于点M，以AB为一边作正方形ABCD．
（1）求C，M两点的坐标；
（2）连接CM，试判断直线CM是否与⊙P相切？说明你的理由；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得△QMC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）依题意推出AB=BC=CD=AD，连接PM，根据勾股定理求出OM的值后可求出点M的坐标；
（2）本题有多种方法解答．首先连接PC，CM，根据勾股定理先求出CM的值，然后证明△CMP≌△CPB即可证得∠CMP=∠CBP=90°；
（3）本题有几种解法，符合题意即可，首先作M点关于x轴的对称点M'，连接M'C，根据题意可知QM+QC的和最小，因为MC为定值，故△QMC的周长最小，证明△M'OQ∽△M'EC，利用线段比求出OQ的值．
【解析】
（1）∵A（-2，0），B（8，0），四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=10，⊙P的半径为5，（1分）
C（8，10），（2分）
连接PM，PM=5，在Rt△PMO中，
∴M（0，4）；（3分）

（2）方法一：直线CM是⊙P的切线．（4分）
证明：连接PC，CM，如图（1），
在Rt△EMC中，（5分）
∴CM=CB
又∵PM=PB，CP=CP
∴△CPM≌△CPB（6）
∴∠CMP=∠CBP=90°
CM是⊙P的切线；（7分）

方法二：直线CM是⊙P的切线．（4分）
证明：连接PC，如图（1），在Rt△PBC中，
PC2=PB2+BC2=52+102=125（5分）
在Rt△MEC中
∴CM2=CE2+ME2=82+62=100（6分）
∴PC2=CM2+PM2
∴△PMC是直角三角形，即∠PMC=90°
∴直线CM与⊙P相切．（7分）

方法三：直线CM是⊙P的切线．（4分）
证明：连接MB，PM如图（2），
在Rt△EMC中，（5）
∴CM=CB
∴∠CBM=∠CMB（6）
∴PM=PB∴∠PBM=∠PMB
∴∠PMB+∠CMB=∠PBM+∠CBM=90°
即PM⊥MC
∴CM是⊙P的切线；（7分）

（3）方法一：作M点关于x轴的对称点M'，则M′（0，-4），
连接M'C，与x轴交于点Q，此时QM+QC的和最小，
因为MC为定值，所以△QMC的周长最小，（8分）
∵△M'OQ∽△M′EC
∴（9分）
∴；（10分）

方法二：作M点关于x轴的对称点M′，则M′（0，-4），
连接M'C，与x轴交于点Q，此时QM+QC的和最小，
因为MC为定值，所以△QMC的周长最小，（8分）
设直线M'C的解析式为y=kx+b，
把M′（0，-4）和C（8，10）分别代入得，
解得
∴，当y=0时，（9分）
∴．（10分）