Question

（2007•南宁）如图1，在锐角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于点H，且AH=6，点D为AB边上的任意一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E．设△ADE的高AF为x（0＜x＜6），以DE为折线将△ADE翻折，所得的△A'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（点A关于DE的对称点A'落在AH所在的直线上）．
（1）分别求出当0＜x≤3与3＜x＜6时，y与x的函数关系式；
（2）当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？

Answer

（1）①当0＜x≤3时，A′在三角形ABC内部，重合部分为三角形DA′E，因此只需求三角形ADE的面积即可．本题可先通过相似三角形ADE和ABC高的相似比求出DE的长，进而求三角形ADE的面积，也可直接根据三角形面积比等于相似比的平方来求三角形ADE的面积．
②当3＜x＜6时，此时A′落在三角形ABC外部，重合部分的面积可用三角形A′DE的面积即三角形ADE的面积-三角形A′PQ的面积求得．求法同①．
（2）根据（1）得出的函数的性质及自变量的取值范围可得出y的最大值及对应的x的值．
【解析】
（1）①当0＜x≤3时，由折叠得到的△A'ED落在△ABC内部如图（1），重叠部分为△A'ED
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC（1分）
∴，
∴，即DE=x
又∵FA'=FA=x
∴y=DE•A′F=×x•x
∴y=x2（0＜x≤3）
②当3＜x＜6时，由折叠得到的△A'ED有一部分落在△ABC外，如图（2），重叠部分为梯形EDPQ
∵FH=6-AF=6-x
A'H=A'F-FH=x-（6-x）=2x-6
又∵DE∥PQ
∴△A′PQ∽△A′DE
∴
∴，PQ=3（x-3）
∴y=（DE+PQ）×FH
[x+3（x-3）]×（6-x）
∴y=-x2+18x-27（3＜x＜6）；

（2）当0＜x≤3时，y的最大值：y1=x2=×32=；
当3＜x＜6时，由y=-x2+18x-27=-（x-4）2+9
可知：当x=4时，y的最大值：y2=9；
∵y1＜y2，
∴当x=4时，y有最大值：y最大=9．