Question

（2007•哈尔滨）如图，梯形ABCD在平面直角坐标系中，上底AD平行于x轴，下底BC交y轴于点E，点C（4，-2），点D（1，2），BC=9，sin∠ABC=．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点H的坐标为（-1，-1），动点G从B出发，以1个单位/秒的速度沿着BC边向C点运动（点G可以与点B或点C重合），求△HGE的面积S（S≠0）随动点G的运动时间t′秒变化的函数关系式（写出自变量t′的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当秒时，点G停止运动，此时直线GH与y轴交于点N．另一动点P开始从B出发，以1个单位/秒的速度沿着梯形的各边运动一周，即由B到A，然后由A到D，再由D到C，最后由C回到B（点P可以与梯形的各顶点重合）．设动点P的运动时间为t秒，点M为直线HE上任意一点（点M不与点H重合），在点P的整个运动过程中，求出所有能使∠PHM与∠HNE相等的t的值．

Answer

（1）作AF⊥BC．已知点C的坐标可求出BC=9，CE=4，BE=5，又知道点B，C的坐标然后利用三角函数可求出点A的坐标．
设直线AB的解析式为y=kx+b，把已知坐标代入可求出解析式．
（2）本题要分两种情况讨论：首先当G在线段BE上且不与点E重合，可得GE=5-t′，S=（5-t′）×1×；
当G在线段CE上且不与点E重合，这时候GE=t′-5，S=（t′-5）×，分别求出自变量的取值范围即可．
（3）如图可求出GE的长与点G的坐标后可得点N的坐标．当点M在射线HF上时，分四种情况讨论：
当点P运动至P1时，∠P1HM=∠HNE．过点P1作平行于y轴的直线，证明△P1Q1H∽△HEN得，然后求出t1的值；
当点P运动至点P2时，∠P2HN=∠HNE．设直线P2H与x轴交于点T，直线HE与x交于点Q2．可得△Q2TH∽△EHN，利用解得Q2T的长以及点T的坐标．求出直线HT的解析式后求出t2的值；
当点P运动至点P3时，∠P3HM1=∠HNE．过点P3作平行于y轴的直线P3Q3，交直线HE于点Q3，同1求出t的坐标；
当点P运动至P4时，∠P4HM1=∠HNE．求证△P4HE≌△THQ2，求出t的值．
【解析】
（1）如图1，过A作AF⊥BC．
∵C（4，-2），∴CE=4．
而BC=9，∴BE=5．
∴B（-5，-2）．
∵D（1，2），∴AF=4．
∵sin∠ABC=，∴BF=3．
∴A（-2，2）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵，∴，
∴直线AB的解析式为y=．

（2）如图1，由题意：
情况一：G在线段BE上且不与点E重合．
∴GE=5-t′，
S=（5-t′）×；
情况二：G在线段CE上且不与点E重合．
∴GE=t′-5
S=（t′-5）×；
情况一中的自变量的取值范围：0≤t′＜5，
情况二中的自变量的取值范围：5＜t′≤9．

（3）如图2，
当t′=秒时，GE=5-
∴G（-，-2），直线GH解析式为y=2x+1．
∴N（0，1）．
当点M在射线HF上时，有两种情况：
情况一：当点P运动至P1时，∠P1HM=∠HNE．
过点P1作平行于y轴的直线，交直线HE于点Q1，交BC于点R．
由BP1=t，sin∠ABC=，可得BR=，P1R=，
∴RE=Q1R=5-，
∴P1Q1=5-．
∴Q1H=．
由△P1Q1H∽△HEN得，
∴t1=．
∴当t1=时，∠P1HM=∠HNE；
情况二：当点P运动至点P2时，
设直线P2H与x轴交于点T，直线HE与x交于点Q2．
此时，△Q2TH∽△EHN
∴解得．
∴直线HT的解析式为y=-3x-4，此时直线HT恰好经过点A（-2，2）．
∴点P2与点A重合，即BP2=5，
∴t2=5．
∴当t2=5秒时，∠P2HM=∠HNE；
若点M在射线HE上时（点M记为点M1），有两种情况：
情况三：当点P运动至点P3时，∠P3HM1=∠HNE．
过点P3作平行于y轴的直线P3Q3，交直线HE于点Q3，可用求点P1同样的方法．
∴t3=15．
∴当t3=15秒时，∠P3HM1=∠HNE；
情况四：当点P运动至P4时，∠P4HM1=∠HNE．
可得△P4HE≌△THQ2，∴P4E=TQ2=．∴t4=
∴当t4=秒时，∠P4HM2=∠HNE．
综上所述：当t=秒或t=5秒或t=15秒或t=秒时，∠PHM=∠HNE．