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(2007•黄冈)已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是菱形,且∠AOC=60°,点B的坐标是(0,8manfen5.com 满分网),点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动,同时,点Q从点O开始以每秒a(1≤a≤3)个单位长度的速度沿射线OA方向移动设t(0<t≤8)秒后,直线PQ交OB于点D.
(1)求∠AOB的度数及线段OA的长;
(2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(3)当a=3,OD=manfen5.com 满分网时,求t的值及此时直线PQ的解析式;
(4)当a为何值时,以O,Q,D为顶点的三角形与△OAB相似?当a为何值时,以O,Q,D为顶点的三角形与△OAB不相似?请给出你的结论,并加以证明.

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(1)已知了∠AOC的度数,根据菱形的性质即可得出∠AOB=30°,连接AC交BO于M,在直角三角形OAM中,OM=OB,可根据OM的长和∠AOM的度数即可求出OA的长. (2)同(1)在直角三角形OAM中可求出AM和OM的长,即可得出A点的坐标.根据菱形的对称性,可知A、C关于y轴对称,由此可得出C点的坐标,可用待定系数法求出抛物线的解析式. (3)当a=3时,OQ=3t,BP=t,已知了OD的长,可求出BD的长,然后根据相似三角形BPD和OQD得出的关于BM,OM,BP,OQ的比例关系式,可求出t的值.即可按(2)的方法求出Q的坐标,用待定系数法可得出直线DQ的解析式. (4)本题要分情况讨论: ①当△ODQ∽△OBA时,PQ∥AB,四边形AQPB是平行四边形,因此BP=AQ,可据此求出a的值. ②当△ODQ∽△OAB时,∠ODQ=∠OAB.分两种情况: 一:当P、B不重合时;二:当P、B重合时. 方法一样,和(3)类似,先根据相似三角形BPD和OQD求出OD的值,然后根据相似三角形OQD和OBA求出a的值.然后进行判断即可. 【解析】 (1)因为四边形ABCO是菱形,∠AOC=60°, 所以∠AOB=30°. 连接AC交OB于M,则OM=OB,AM⊥OB 所以AM=tan30°×OM=4. 所以,OA=AM÷sin30°=8, (2)由(1)可知A(4,4),B(0,8),C(-4,4) 设经过A、B、C三点的抛物线为y=ax2+c 所以16a+c=4,c=8, ∴a=- 所以经过A、B、C三点的抛物线为y=-x2+8 (3)当a=3时,CP=t,OQ=3t,OD=. 所以PB=8-t,BD=8-= 由△OQD∽△BPD得 即, 所以t= 当t=时,OQ=. 同理可求Q(,) 设直线PQ的解析式为y=kx+b,则 k+b=,b=; 所以k=- 所以直线PQ的解析式为y=-x+. (4)当a=1时,△ODQ∽△OBA; 当1<a<3时,以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB不能相似; 当a=1时,△ODQ∽△OBA. 理由如下: ①若△ODQ∽△OBA,可得∠ODQ=∠OBA,此时PQ∥AB. 故四边形PCOQ为平行四边形, 所以CP=OQ 即at=t(0<t≤8). 所以a=1时,△ODQ∽△OBA ②若△ODQ∽△OAB (I)如果P点不与B点重合,此时必有△PBD∽△QOD 所以 所以,即=; 所以OD=. 因为△ODQ∽△OAB, 所以即= ∴a=1+. ∵0<t≤8, ∴a>3,不符合题意.即a>3时,以O、Q、D为顶点的三角形与△ABO不能相似; (II)当P与B重合时,此时D点也与B点重合. 可知此时t=8. 由△ODQ∽△OAB得. 所以OB2=OA×OQ. 即(8)2=8×8a 所以a=3符合题意. 故当a=1时△ODQ∽△OAB.
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考点分析:
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局数
得分
姓名 
一 二 三 四 五 六 七 
 马琳 1111 11 
 王励勤 9 711 11 11 11 
(1)请将七局比分的相关数据的分析结果,直接填入下表中(结果保留两个有效数字).
项目
分析结果
姓名 
平均分 众数 中位数 
 马琳 8.7 9.0 
 王励勤  11 
(2)中央电视台在此次现场直播时,开展了“短信互动,有奖竞猜”活动,凡是参与短信互动且预测结果正确的观众,都能参加“乒乓大礼包”的投资活动,据不完全统计,有32320名观众参与了此次短信互动活动,其中有50%的观众预测王励勤获胜.刘敏同学参加了本次“短信互动”活动,并预测了王励勤获胜,如果从中抽取20名幸运观众,并赠送“乒乓达大礼包“一份,那么刘敏同学中奖的概率有多大?
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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