Question

（2007•荆州）如图，矩形OABC的边OC，OA分别与x轴，y轴重合，点B的坐标是（，1），点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将△OAD翻折，点A落在点P处．
（1）若点P在一次函数y=2x-1的图象上，求点P的坐标；
（2）若点P在抛物线y=ax²图象上，并满足△PCB是等腰三角形，求该抛物线解析式；
（3）当线段OD与PC所在直线垂直时，在PC所在直线上作出一点M，使DM+BM最小，并求出这个最小值．

Answer

（1）先根据B（），可知BC=OA=OP=1，OC=．设P（x，2x-1），过P作PH⊥x轴于H．利用x分别表示出PH、OH、又OP=1，根据勾股定理即可解答；
（2）连接PB，PC．①若PB=PC，设P（x，），过P作PH⊥x轴于H．
在Rt△OPH中根据勾股定理解得x，从而确定P点坐标，进而求出解析式．
②若BP=BC，则BP=1，连接OB．在Rt△OBC中根据勾股定理求出OB，从而得出P为线段OB中点，求出P点坐标，进而求解析式．
③若CP=CB，则CP=1，PO=PC，则P在OC中垂线x=上．设P（，y）．过P作PH⊥x轴于H．在Rt△OPH中根据勾股定理求出P点坐标，从而确定解析式．
（3）根据求最小值的解法，找对称点，构建直角三角形，利用勾股定理解答即可．
【解析】
（1）∵B（）
∴BC=OA=OP=1，OC=．
∵点P在一次函数y=2x-1的图象上
∴设P（x，2x-1）
如图，过P作PH⊥x轴于H
在Rt△OPH中，PH=2x-1，OH=x，OP=1
∴x2+（2x-1）2=1
解得：x1=，x2=0（不合题意，舍去）
∴P（，）（2分）

（2）连接PB，PC
①若PB=PC，则P在BC中垂线y=上
∴设P（x，），如图，过P作PH⊥x轴于H
在Rt△OPH中，PH=，OH=x，OP=1
∴x2+=1
解得：x1=，x2=-（不合题意，舍去）
∴P（，）
∴=a×，
得a=
∴y=x2（2分）
②若BP=BC，则BP=1，连接OB
∵OP=1
∴OP+PB=2
∵在Rt△OBC中，∠OCB=90°，OB==2
∴OP+PB=OB
∴O，P，B三点共线，P为线段OB中点．
又∵B（，1）
∴P（，）
∴=a×，
解得：a=
∴y=x2
③若CP=CB，则CP=1
∵OP=1
∴PO=PC，则P在OC中垂线x=上
∴设P（，y）．
过P作PH⊥x轴于H，在Rt△OPH中，PH=|y|，OH=，OP=1
∴y2+=1
解得：y1=，y2=-
∴P（，）或（，-）
当点P（，-）时，∠AOP=120°，此时∠AOD=60°，点D与点B重合，符合题意．
若点P（，），则=a×，解得：a=．∴y=x2
若点P（，-），则-=a×，解得：a=-
∴y=-x2（2分）

（3）如图，∵△OAD沿OD翻折，点A落在点P处
∴OD垂直平分AP
∵PC⊥OD
∴A，P，C三点共线．
在Rt△AOD中，∠OAD=90°，OA=1
又可得：∠AOD=30°
∴AD=AO•tan30°=，
∴D（，1）
作点B关于直线AC的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于点N，连接DB′，DB′与AC交点为M，此点为所求点．
∵∠ACB′=∠ACB=60°，∠ACO=30°
∴∠B′CO=30°
∵B′C=BC=1
∴B′（，-），
∴N（，1）
在Rt△B′ND中，∠B′ND=90°，B′N=，DN=AN-AD=-=
∴DB′==
∴DM+BM的最小值为．（2分）