Question

（2007•随州）如图，直角梯形ABCD的腰BC所在直线的解析式为y=-x-6，点A与坐标原点O重合，点D的坐标为（0，-4），将直角梯形ABCD绕点O顺时针旋转180°，得到直角梯形OEFG（如图1）．
（1）直接写出E，F两点的坐标及直角梯形OEFG的腰EF所在直线的解析式；
（2）将图1中的直角梯形ABCD先沿x轴向右平移到点A与点E重合的位置，再让直角顶点A紧贴着EF，向上平移直角梯形ABCD（即梯形ABCD向上移动时，总保持着AB∥FG），当点A与点F重合时，梯形ABCD停止移动．观察得知：在梯形ABCD移动过程中，其腰BC始终经过坐标原点O．（如图2）
①设点A的坐标为（a，b），梯形ABCD与梯形OEFG重合部分的面积为S，试求a与何值时，S的值恰好等于梯形OEFG面积的；
②当点A在EF上滑动时，设AD与x轴的交点为M，试问：在y轴上是否存在点P，使得△PAM是底角为30°的等腰三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（利用图3进行探索）

Answer

（1）根据E（6，0），F（2，4），利用待定系数法可求得EF所在直线的解析式；
（2）根据梯形OEFG的面积为（2+6）•4，A（a，-a+6，
由题意得，
若S的值为，则可得a2-6a+5=0，所以a1=1，a2=5，又a1=1不合题意，舍去，取a=5，
可求得当a=5时，S的值恰好等于梯形OEFG的面积的；
（3）满足条件的等腰△PAM的顶角应为120°，分下列三种情况考虑：
①当∠PAM为顶角时（如图1），设AB交y轴于点Q，OM=x，利用Rt△PQA，Rt△POM中的有关角和线段可求得P1（0，）；
②当∠PMA为顶角时，画图可知合条件的点P2在y轴的负半轴上，可求；
③当∠APM为顶角时（如图2）过点P3作P3N⊥AM于点M，点A与点F重合，即，所以满足条件的点P坐标为．
【解析】
（1）E（6，0），F（2，4），EF所在直线的解析式为y=-x+6．

（2）梯形OEFG的面积为（2+6）•4，
∵点A（a，b）在直线EF上，
∴A（a，-a+6，
由题意得，
若S的值为，则，
，
即a2-6a+5=0，∴a1=1，a2=5，
又a1=1不合题意，舍去，取a=5；
∴当a=5时，S的值恰好等于梯形OEFG的面积的．

（3）显然，满足条件的等腰△PAM的顶角应为120°，分下列三种情况考虑：
①当∠PAM为顶角时（如图1），设AB交y轴于点Q，OM=x，
∵点A在直线y=-x+6上，∴AM=-x+6，
在Rt△PQA中，∠PAQ=120°-90°=30°，
∴PQ=AP=AM；
∴OP=OQ+QP=AM=（-x+6），
在Rt△POM中，∠PMO=90°-30°=60°，
∴OP=OM•tan∠PMO=x；
∴（-x+6）=x，x=．
②当∠PMA为顶角时，画图可知合条件的点P2在y轴的负半轴上；
Rt△P2OM中，∠P2MO=120°-90°=30°，且OM仍为；
∴，
即；
③当∠APM为顶角时（如图2）过点P3作P3N⊥AM于点M，
设OM=x，在Rt△P3OM中，∠P3MO=90°-30°=60°，
∴，
∴，
∴，x=2，
此时点A的坐标为，即点A与点F重合，∴，即，
由①，②，③得，满足条件的点P坐标为．