Question

（2007•宜昌）如图1，点A是直线y=kx（k＞0，且k为常数）上一动点，以A为顶点的抛物线y=（x-h）²+m交直线y=kx于另一点E，交y轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C．（点A，E，F两两不重合）
（1）请写出h与m之间的关系；（用含的k式子表示）
（2）当点A运动到使EF与x轴平行时（如图2），求线段AC与OF的比值；
（3）当点A运动到使点F的位置最低时（如图3），求线段AC与OF的比值．

Answer

（1）根据点A在直线y=kx上，即可得出h，m的关系式．
（2）当EF∥x轴时，根据抛物线的对称性可知：FC=CE即C是EF的中点，那么AC就是三角形OEF的中位线，因此AC=OF．
（也可通过联立直线OA的解析式和抛物线的解析式得出E点的坐标，当EF∥x轴时，E、F纵坐标相同，以此来求出h，k的关系，进而表示出A、C、E、F四点坐标以此来求出AC与OF的比例关系）．
（3）先求出F到最低位置时，函数的解析式（F位置最低时，纵坐标值最小）．联立两函数的解析式求出A、E的坐标，然后根据相似三角形OEF和AEC求出OF，AC的比例关系．
【解析】
（1）∵抛物线顶点（h，m）在直线y=kx上，
∴m=kh；

（2）方法一：解方程组，
将（2）代入（1）得到：（x-h）2+kh=kx，
整理得：（x-h）[（x-h）-k]=0，
解得：x1=h，x2=k+h，
代入到方程（2）y1=hy2=k2+hk，
所以点E坐标是（k+h，k2+hk），
当x=0时，y=（x-h）2+m=h2+kh，
∴点F坐标是（0，h2+kh），
当EF和x轴平行时，点E，F的纵坐标相等，
即k2+kh=h2+kh，
解得：h=k（h=-k舍去，否则E，F，O重合），
此时点E（2k，2k2），F（0，2k2），C（k，2k2），A（k，k2），
∴AC：OF=k2：2k2=1：2．（3分）
方法二：当x=0时，y=（x-h）2+m=h2+kh，即F（0，h2+kh），
当EF和x轴平行时，点E，F的纵坐标相等，
即点E的纵坐标为h2+kh，
当y=h2+kh时，代入y=（x-h）2+kh，
解得x=2h（0舍去，否则E，F，O重合），
即点E坐标为（2h，h2+kh），（1分）
将此点横纵坐标代入y=kx得到h=k（h=0舍去，否则点E，F，O重合），
此时点E（2k，2k2），F（0，2k2），C（k，2k2），A（k，k2），
∴AC：OF=k2：2k2=1：2．
方法三：∵EF与x轴平行，
根据抛物线对称性得到FC=EC，
∵AC∥FO，
∴∠ECA=∠EFO，∠FOE=∠CAE，
∴△OFE∽△ACE，
∴AC：OF=EC：EF=1：2．

（3）当点F的位置处于最低时，其纵坐标h2+kh最小，
∵h2+kh=[h2+kh+（）2]-，
当h=，点F的位置最低，此时F（0，-），
解方程组
得E（，），A（-，-）．
方法一：设直线EF的解析式为y=px+q，
将点E（，），F（0，-）的横纵坐标分别代入得，
解得：p=，q=-，
∴直线EF的解析式为y=x-，
当x=-时，y=-k2，即点C的坐标为（-，-k2），
∵点A（-，-），
∴AC=，而OF=，
∴AC=2OF，即AC：OF=2．
方法二：∵E（，），A（-，-），
∴点A，E关于点O对称，
∴AO=OE，
∵AC∥FO，
∴∠ECA=∠EFO，∠FOE=∠CAE，
∴△OFE∽△ACE，
∴AC：OF=AE：OE=2：1．