Question

（2007•江苏）如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，且AB=AC=4． P为AB上一点，过P作PE⊥AB分别交BC、OA于E、F．
（1）设AP=1，求△OEF的面积；
（2）设AP=a（0＜a＜2），△APF、△OEF的面积分别记为S₁、S₂．
①若S₁=S₂，求a的值；
②若S=S₁+S₂，是否存在一个实数a，使S＜？若存在，求出一个a的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）易知△AOC、△OEF、△AFP均为等腰直角三角形，因此只需求出OF的长就可得出△OEF的面积，在直角三角形AFP中，根据AP=1，可求得AF=，已知了AB、AC的长可求出OA的长，进而可得出OF的长．也就能求出△OEF的面积．
（2）①同（1）可用a表示出△OEF的面积，S2=a2，然后根据S1=S2，可得出关于a的方程，即可求出a的值．
②根据①即可得出关于S，a的函数关系式，然后根据函数的性质即可判断出是否存在使S＜的值．
【解析】
（1）∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵AB=AC
∴∠B=∠C=45°，OA⊥BC，
∴∠1=∠B=45°，
∵PE⊥AB
∴∠2=∠1=45°
∴∠4=∠3=45°，
则△APF、△OEF与△OAB均为等腰直角三角形．
∵AP=l，AB=4，
∴AF=，OA=，
∴OE=OF=，
∴△OEF的面积为•OE•OF=1．

（2）①∵FP=AP=a，
∴S1=a2
且AF=，
∴OE=OF=2-a=（2-a），
∴S2=•OE•OF=（2-a）2
∵S1=S2
∴a2=（2-a）2
∴a=4±
∵0＜a＜2
∴．
②S=S1+S2=a2+（2-a）2=a2-4a+4=（a-）2+，
∴当时，S取得最小值为，
∵，
∴不存在这样实数a，使S＜．