Question

（2007•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，⊙O₁的直径OA在x轴上，O₁A=2，直线OB交⊙O₁于点B，∠BOA=30°，P为经过O、B、A三点的抛物线的顶点．
（1）求点P的坐标；
（2）求证：PB是⊙O₁的切线．

Answer

（1）已知了圆的半径，即可得出A点的坐标；连接O1B，过点B作BC⊥x轴于点C，可在构建的直角三角形O1BC中，根据BO1C的度数和圆的半径求出B点坐标，进而可根据O、A、B三点坐标求出抛物线的解析式，即可得出P点坐标．
（2）证PB是⊙O1的切线，就是证O1B⊥PA，本题主要利用勾股定理进行秋季．可根据O1，P，B三点坐标，分别求出O1P、PB的长，然后用勾股定理进行判断即可．也可求出直线BP与x轴的交点（设为D）的坐标，然后在三角形O1BD中，用勾股定理验证．道理一样．
（1）【解析】
如图，
连接O1B，过点B作BC⊥x轴于点C
∵∠BOA=30°，半径O1A=2，
∴∠BO1C=60°，O1C=1，BC=
∴点B坐标为（3，）．
设过O（0，0），A（4，0）两点抛物线解析式为y=ax（x-4），
∵点B（3，）在抛物线上，
∴=a×3×（3-4），
∴a=-，
∴抛物线的解析式为y=-x2+x，
∴顶点P的坐标为（2，）．

（2）证明：设过P（2，）、B（3，）两点直线的解析式为y=kx+b，
则，
∴直线的解析式为y=-x+2，
令y=0，则x=6，
∴直线PB与x轴的交点坐标为D（6，0），
∴OD=6，CD=3，O1D=3+1=4，
∵OB=2
∴BD=2，
∴O1B2+BD2=22+（2）2=16=O1D2
∴O1B2+BD2=O1D2
∴O1B⊥BD，
即PB是⊙O1的切线．