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(2010•北京)已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD=2...

(2010•北京)已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD=2,BC=4.求∠B的度数及AC的长.

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解法一:分别作AF⊥BC,DG⊥BC,F、G是垂足,把梯形转换成矩形和两个直角三角形,首先利用梯形的性质和已知条件证明Rt△AFB≌Rt△DGC,然后在Rt△AFB中解直角三角形即可求出所求线段; 解法二:过A点作AE∥DC交BC于点E,把梯形的问题转换成平行四边形和等边三角形,然后利用等边三角形的性质和三角函数的定义即可求出所求线段. 【解析】 解法一:分别作AF⊥BC,DG⊥BC,F、G是垂足, ∴∠AFB=∠DGC=90°,AF∥DG, ∵AD∥BC, ∴四边形AFGD是矩形. ∴AF=DG, ∵AB=DC, ∴Rt△AFB≌Rt△DGC. ∴BF=CG, ∵AD=2,BC=4, ∴BF=1, 在Rt△AFB中, ∵cosB==, ∴∠B=60°, ∵BF=1, ∴AF=, ∵FC=3, 由勾股定理, 得AC=2, ∴∠B=60°,AC=2. 解法二:过A点作AE∥DC交BC于点E, ∵AD∥BC, ∴四边形AECD是平行四边形. ∴AD=EC,AE=DC, ∵AB=DC=AD=2,BC=4, ∴AE=BE=EC=AB, 即AB=BE=AE,AE=CE, ∴△BAC是直角三角形,△ABE是等边三角形, ∴∠BAE=60°=∠AEB,∠EAC=∠ACE=∠AEB=30°, ∴∠BAC=60°+30°=90°,∠B=60°. 在Rt△ABC中, AC=ABtan∠B=AB•tan60°=2, ∴∠B=60°,AC=2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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