Question

（2012•如东县一模）在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，设OD=t．
（1）求tan∠FOB的值；
（2）用含t的代数式表示△OAB的面积S；
（3）是否存在点B，使以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似？若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）已知点A的坐标，可推出CD=OD=DE=EF=t，可求出tan∠FOB．
（2）证明△ACF∽△AOB推出得，然后求出OB关于t的等量关系式，继而求出S△OAB的值．
（3）依题意要使△BEF∽△OFE，则要或，即分BE=2t或两种情况解答．当BE=2t时，BO=4t，根据上述的线段比求出t值；当EB=t时也要细分两种情况：当B在E的右侧以及当B在E的左侧时OB的取值，利用线段比求出t值．
【解析】
（1）∵A（2，2），
∴∠AOB=45°，
∴CD=OD=DE=EF=t，
∴．（3分）

（2）∵CF∥OB，
∴△ACF∽△AOB，
∴．
∴，
∴．（4分）

（3）要使△BEF与△OFE相似，
∵∠FEO=∠FEB=90°，
∴只要或．
即：BE=2t或，
①当BE=2t时，BO=4t，
∴，
∴t1=0（舍去）或t2=，
∴B（6，0）．（2分）
②当时，
（ⅰ）当B在E的左侧时，

，
∴，
∴t1=0（舍去）或t2=．
∴B（1，0）．（2分）
（ⅱ）当B在E的右侧时，，
∴，
∴t1=0（舍去）或t2=，
∴B（3，0）．（2分）
综上，B（1，0）（3，0）（6，0）．